ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 565: степени

План решения:

Чтобы представить число в виде степени с основанием, отличным от 1, нужно найти все возможные пары (a,n), где a — основание, а n — натуральный показатель степени, такие что aⁿ=N. Для чисел вида 2^k основаниями могут быть только степени двойки: 2¹,2²,…,2^k-1. Показатель степени при этом определяется как n=k/m, где m — степень двойки в основании (a=2^m). Таким образом, количество способов равно количеству делителей показателя k, исключая сам делитель k (так как основание должно быть отлично от самого числа? Нет, условие говорит "основание, отличное от 1". Основание может быть самим числом, если показатель равен 1. Но обычно под "представлением в виде степени" подразумевают нетривиальные представления или все целочисленные. Давайте уточним логику для 7 класса. Обычно задача сводится к нахождению всех представлений N=a^b, где b>1 (иногда включают b=1, но тогда a=N, и это тривиально. Однако формулировка "основанием, отличным от 1" не запрещает показатель быть 1. Если показатель 1, то a=N. Это одно представление. Но чаще всего в таких задачах ищут представления с показателем >1. Посмотрим на структуру числа. Для 2¹⁵: возможные основания a=2^m. Тогда (2^m)ⁿ=2^mn=2¹⁵, значит mn=15. Пары (m,n) натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению, соответствуют делителям числа 15. Делители 15: 1, 3, 5, 15. Если m=1, то a=2¹=2, n=15. Представление: 2¹⁵. Если m=3, то a=2³=8, n=5. Представление: 8⁵. Если m=5, то a=2⁵=32, n=3. Представление: 32³. Если m=15, то a=2¹⁵=32768, n=1. Представление: 32768¹. Все эти основания отличны от 1. Значит, всего 4 способа. Аналогично для 2⁶: mn=6. Делители 6: 1, 2, 3, 6. m=1⇒a=2,n=6⇒2⁶. m=2⇒a=4,n=3⇒4³. m=3⇒a=8,n=2⇒8². m=6⇒a=64,n=1⇒64¹. Всего 4 способа.

Вычисление:

а) Число 2¹⁵

Ищем натуральные решения уравнения (2^m)ⁿ=2¹⁵, то есть m·n=15. Найдем все пары натуральных множителей числа 15:

• 1·15=15⇒m=1,n=15. Основание a=2¹=2. Степень: 2¹⁵.
• 3·5=15⇒m=3,n=5. Основание a=2³=8. Степень: 8⁵.
• 5·3=15⇒m=5,n=3. Основание a=2⁵=32. Степень: 32³.
• 15·1=15⇒m=15,n=1. Основание a=2¹⁵=32768. Степень: 32768¹.

б) Число 2⁶

Ищем натуральные решения уравнения (2^m)ⁿ=2⁶, то есть m·n=6. Найдем все пары натуральных множителей числа 6:

• 1·6=6⇒m=1,n=6. Основание a=2¹=2. Степень: 2⁶.
• 2·3=6⇒m=2,n=3. Основание a=2²=4. Степень: 4³.
• 3·2=6⇒m=3,n=2. Основание a=2³=8. Степень: 8².
• 6·1=6⇒m=6,n=1. Основание a=2⁶=64. Степень: 64¹.

Проверка:

Подставим полученные значения обратно, чтобы убедиться в правильности вычислений. Для пункта а): 2¹⁵=32768. 8⁵=(2³)⁵=2¹⁵=32768. 32³=(2⁵)³=2¹⁵=32768. 32768¹=32768. Все равенства верны, основания не равны 1. Для пункта б): 2⁶=64. 4³=(2²)³=2⁶=64. 8²=(2³)²=2⁶=64. 64¹=64. Все равенства верны, основания не равны 1. Таким образом, количество способов совпадает с количеством делителей показателя степени.