ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 568: степени

План решения:

• Для пункта а) преобразуем выражение 3^4k к виду (3⁴)^k и проанализируем последнюю цифру степени числа 81.
• Для пункта б) представим число 10^k-1 в виде суммы разрядных слагаемых или воспользуемся признаком делимости на 3 для чисел, состоящих из единиц.

Вычисление:

а) Рассмотрим число 3^4k. Используя свойства степеней, запишем его как произведение одинаковых множителей:

Число 81 оканчивается на цифру 1. При возведении в любую натуральную степень k числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1. Действительно, если a оканчивается на 1, то a=10m+1, и a²=(10m+1)²=100m²+20m+1=10(10m²+2m)+1, что снова оканчивается на 1. По индукции это верно для любой степени k. Следовательно, число 3^4k оканчивается единицей.

б) Рассмотрим число 10^k-1. Запишем его в десятичной системе счисления. Число 10^k — это единица с k нулями. Вычитая из него 1, мы получаем число, состоящее из k девяток:

Сумма цифр этого числа равна 9×k=9k. Так как сумма цифр кратна 3 (так как 9k делится на 3 без остатка), то по признаку делимости на 3 само число 10^k-1 кратно 3.

Альтернативный способ: 10≡1(mod3), поэтому 10^k≡1^k≡1(mod3). Тогда 10^k-1≡1-1≡0(mod3), что означает делимость на 3.

Проверка:

а) Для k=1: 3⁴=81 (оканчивается на 1). Для k=2: 3⁸=6561 (оканчивается на 1). Утверждение верно.

б) Для k=1: 10¹-1=9, делится на 3. Для k=2: 10²-1=99, делится на 3 (99:3=33). Утверждение верно.