ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 567: степени
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Натуральное число a оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Проверим, какой цифрой оканчивается число a, если оно само оканчивается на 1.
- Рассмотрим произведение двух чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру, чтобы понять закономерность для степеней.
- Найдём другие цифры, которые сохраняют свою последнюю цифру при возведении в любую натуральную степень.
Вычисление:
Пусть натуральное число a оканчивается цифрой 1. Это значит, что его можно представить в виде a=10k+1, где k — целое неотрицательное число.
Возведём это число в квадрат: a2=(10k+1)2=100k2+20k+1=10(10k2+2k)+1.
Как видно из выражения, результат снова оканчивается на 1. Если мы умножим любое число, оканчивающееся на 1, на другое число, оканчивающееся на 1, то произведение будет оканчиваться на 1·1=1. Следовательно, любая натуральная степень числа a, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1 .
Теперь найдём другие цифры с аналогичным свойством. Нам нужно найти такие цифры d, что dn оканчивается на d для любого натурального n. - Для n=1 это верно для всех цифр. - Для n=2: проверим квадраты цифр от 0 до 9: 02=0, 12=1, 52=25 (оканч. на 5), 62=36 (оканч. на 6). Остальные цифры (2,3,4,7,8,9) при возведении в квадрат меняют последнюю цифру. - Проверим гипотезу для цифр 0, 1, 5, 6 для высших степеней: - Цифра 0: 0·0=0. Любая степень числа, оканчивающегося на 0, оканчивается на 0. - Цифра 1: уже доказано выше. - Цифра 5: 5·5=25 (оканч. на 5). Умножение числа, оканчивающегося на 5, на число, оканчивающееся на 5, всегда даёт произведение, оканчивающееся на 5. - Цифра 6: 6·6=36 (оканч. на 6). Умножение числа, оканчивающегося на 6, на число, оканчивающееся на 6, всегда даёт произведение, оканчивающееся на 6.
Проверка:
Возьмём примеры: - Число 21 (оканч. на 1): 212=441, 213=9261. Всегда оканчивается на 1. - Число 15 (оканч. на 5): 152=225, 153=3375. Всегда оканчивается на 5. - Число 16 (оканч. на 6): 162=256, 163=4096. Всегда оканчивается на 6. - Число 10 (оканч. на 0): 102=100. Всегда оканчивается на 0.
Таким образом, свойство выполняется для цифр 0, 1, 5 и 6.
Степень числа a оканчивается на 1. Аналогичное свойство выполняется для цифр 0, 1, 5, 6.
Задача требует анализа последних цифр степеней натуральных чисел. Ключевой момент — понимание того, что последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Цифры 0, 1, 5, 6 являются идемпотентами относительно операции умножения по модулю 10 (то есть x2≡x10).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 567 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 567?
Краткий ответ: Степень числа a оканчивается на 1. Аналогичное свойство выполняется для цифр 0, 1, 5, 6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.