ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 733: Разложение многочлена на множители способом группировки

Для разложения многочленов на множители будем использовать метод группировки. В каждом пункте мы перегруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель за скобки.

а) x²y+x+xy²+y+2xy+2

1. Сгруппируем первые два слагаемых, следующие два и последние два: (x²y+x)+(xy²+y)+(2xy+2).
2. Вынесем общие множители из каждой группы: x(xy+1)+y(xy+1)+2(xy+1).
3. Теперь у всех трёх частей есть общий множитель (xy+1). Вынесем его за скобки: (xy+1)(x+y+2).

б) x²-xy+x-xy²+y³-y²

1. Перегруппируем слагаемые удобным образом. Попробуем собрать вместе члены с x², -xy² и y³, а также остальные: (x²-xy²+y³)+(-xy+x-y²). Этот путь сложен. Попробуем другую группировку, ориентируясь на степени переменных или парные сочетания.
2. Давайте сгруппируем так: (x²-xy)+(x-y²)+(y³-xy²). Не очень удачно. Попробуем сгруппировать по общему множителю внутри пар: (x²-xy²)+(x-y²)+(y³-xy). Тоже не видно общего.
3. Вернёмся к исходному виду: x²-xy+x-xy²+y³-y². Сгруппируем первым способом: (x²-xy²)+(x-y²)+(y³-xy). Нет. Сгруппируем вторым способом: (x²+x)-(xy+y²)-(xy²-y³). Вынесем множители: x(x+1)-y(x+y)-y²(x-y). Общего нет. Попробуем третью группировку: (x²-xy)+(x-y²)+(y³-xy²)? Нет. Давайте посмотрим внимательно на структуру. Может быть, стоит сгруппировать как: (x²-xy²)+(x-y²)+(y³-xy)? Попробуем другой подход: вынесем x из первых двух и последних двух? Нет. Рассмотрим группу: (x²-xy)+(x-y²)+(y³-xy²). Из первой группы: x(x-y). Из третьей группы: y²(y-x)=-y²(x-y). Тогда выражение принимает вид: x(x-y)+(x-y²)-y²(x-y). Сгруппируем первое и третье слагаемое: (x-y²)(x-y)+(x-y²). Здесь появился общий множитель (x-y²). Вынесем его: (x-y²)((x-y)+1)=(x-y²)(x-y+1).

Проверка:

• Для пункта а): Раскроем скобки в ответе (xy+1)(x+y+2)=xy·x+xy·y+xy·2+1·x+1·y+1·2=x²y+xy²+2xy+x+y+2. Совпадает с условием.
• Для пункта б): Раскроем скобки в ответе (x-y²)(x-y+1)=x(x-y+1)-y²(x-y+1)=x²-xy+x-xy²+y³-y². Совпадает с условием.