ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 980: степени
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите остаток от деления числа 14·76 на 145.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти остаток от деления числа 14·76 на 145, сначала вычислим значение степени 76. Затем умножим полученное число на 14 и разделим результат на 145, чтобы определить остаток. Для упрощения вычислений можно использовать свойства степеней или последовательное возведение в степень.
Вычисление.
Найдём значение 76. Заметим, что 72=49. Тогда 76=(72)3=493. Вычислим 493: 492=2401 493=2401·49 Умножение столбиком или по частям: 2401·49=2401·(50-1)=2401·50-2401=120050-2401=117649 Таким образом, 76=117649. Теперь найдём произведение 14·76: 14·117649=1647086 Осталось найти остаток от деления 1647086 на 145. Выполним деление с остатком. Сначала прикинем порядок: 145·10000=1450000. Разность 1647086-1450000=197086. Далее, 145·1000=145000. Разность 197086-145000=52086. Далее, 145·300=43500. Разность 52086-43500=8586. Далее, 145·50=7250. Разность 8586-7250=1336. Далее, 145·9=1305. Разность 1336-1305=31. Итак, частное равно 10000+1000+300+50+9=11359, а остаток равен 31. Проверка альтернативным методом (свойства модульной арифметики): 145=5·29. Число N=14·76. По модулю 5: 14≡4≡-1, 7≡2. N≡(-1)·26=-64≡-4≡1pmod5. По модулю 29: 14·76. Заметим, что 72=49=29+20≡20≡-929. 76=(72)3≡(-9)3=-729. Разделим 729 на 29: 29·20=580, 729-580=149. 29·5=145, 149-145=4. Значит 729≡429. Тогда 76≡-429. N=14·76≡14·(-4)=-5629. -56=-2·29+2≡229. Ищем число x<145, такое что x≡1pmod5 и x≡229. Из второго условия x=29k+2. Подставим в первое: 29k+2≡1pmod5. 29≡4≡-1pmod5, значит -k+2≡1⇒k≡1pmod5. Возьмём наименьшее положительное k=1. Тогда x=29(1)+2=31. Ответ совпадает.
Ответ.
Остаток от деления равен 31.
31
Ключ в учебнике (64) неверен. При точном вычислении 14·76/145 остаток равен 31. Проверено двумя методами: прямым вычислением большого числа и через китайскую теорему об остатках (разложение 145 на 5 и 29).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 980 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 980?
Краткий ответ: 31.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.