ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 981: степени

План решения:

Чтобы доказать кратность выражения числу, нужно представить его в виде произведения этого числа на целое число. Для этого воспользуемся свойством разложения степеней: aⁿ=a·a^n-1. Мы выделим из первого слагаемого множитель, равный делителю (81 для пункта а и 139 для пункта б), а затем сложим оставшуюся часть со вторым слагаемым.

Выполнение действий:

• а) Докажем, что 83⁴+65 кратно 81.

  Заметим, что основание степени 83 можно представить как сумму 2+81. Однако более простой путь — использовать свойства делимости или просто преобразовать выражение, если это возможно напрямую. В данном случае прямое выделение множителя 81 из 83⁴ невозможно без бинома Ньютона, но давайте посмотрим на остатки от деления или попробуем другой подход, характерный для 7 класса.

  В 7 классе обычно используют представление числа в виде суммы, где одно слагаемое делится на нужное число. Но здесь 83 не делится на 81. Давайте проверим условие внимательно. Возможно, опечатка в условии учебника? Часто такие задачи строятся по схеме (k·n+r)^m+C, где результат кратен n.

  Давайте попробуем вычислить остаток от деления 83⁴ на 81. Так как 83=81+2, то 83≡281. Тогда 83⁴≡2⁴81. 2⁴=16. Следовательно, 83⁴+65≡16+6581. 16+65=81. Так как сумма равна 81, она делится на 81 без остатка. Значит, всё выражение кратно 81.

  Запишем это строго через алгебраические преобразования, доступные ученику:

  83⁴+65=(81+2)⁴+65 Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона (или просто заметим структуру): (81+2)⁴=81⁴+4·81³·2+6·81²·2²+4·81·2³+2⁴ Все слагаемые, кроме последнего (2⁴=16), содержат множитель 81. Обозначим их сумму через A, где A кратно 81. Тогда выражение принимает вид: A+16+65=A+81 Так как A кратно 81 и 81 кратно 81, то их сумма также кратна 81.

• б) Докажем, что 141¹⁰+88 кратно 139.

  Аналогично пункту а). Представим основание степени как сумму: 141=139+2.

  141¹⁰+88=(139+2)¹⁰+88 При раскрытии (139+2)¹⁰ все слагаемые, кроме последнего, будут содержать множитель 139. Последнее слагаемое равно 2¹⁰.

  Вычислим 2¹⁰:

  2¹⁰=1024

  Теперь подставим это значение обратно в выражение. Пусть B — сумма всех членов разложения, делящихся на 139. Тогда:

  141¹⁰+88=B+1024+88=B+1112

  Нужно проверить, кратно ли 1112 числу 139. Выполним деление:

  1112:139=8

  Действительно, 139·8=1112.

  Следовательно, мы можем записать:

  B+1112=B+139·8

  Так как B кратно 139 и 139·8 кратно 139, то вся сумма кратна 139.

Проверка:

В обоих случаях мы использовали метод выделения полного квадрата/степени делителя. Для а): Остаток от деления 83⁴ на 81 равен 2⁴=16. Сумма 16+65=81, делится на 81. Верно. Для б): Остаток от деления 141¹⁰ на 139 равен 2¹⁰=1024. 1024 при делении на 139 дает остаток? 139·7=973, 1024-973=51. Хм, давайте пересчитаем деление 1112 на 139. 139·10=1390. 139·8=1112. Да, верно. Или проще: 1024+88=1112. 1112/139=8. Целое число. Значит, сумма кратна 139. Логика верна.