ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 154: Произведение и частное дробей

В этой задаче нам нужно выполнить действия с рациональными дробями. Основной алгоритм решения включает три этапа: разложение числителей и знаменателей на множители, выполнение операций умножения/деления или сложения/вычитания в соответствии с приоритетом действий, а затем сокращение полученной дроби до простейшего вида.

Рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) Выражение: a²-5/a+3·1/a²+5a-a+5/a²-3a.

1. Разложим знаменатели на множители: a²+5a=a(a+5), a²-3a=a(a-3).
2. Выполним умножение первой части: a²-5/a+3·1/a(a+5)=a²-5/a(a+3)(a+5).
3. Теперь вычтем вторую дробь. Для этого приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет a(a+3)(a+5)(a-3). Это слишком громоздко. Давайте проверим условие на возможные опечатки в исходном тексте задачи, так как стандартные школьные примеры обычно имеют более красивые сокращения. Однако, следуя строго тексту условия:
4. Заметим, что если бы в числителе первой дроби было a²-9, то решение было бы тривиальным. Но у нас a²-5. Попробуем привести к общему знаменателю a(a+3)(a+5)(a-3)? Нет, второй знаменатель a(a-3). Первый после умножения имеет знаменатель a(a+3)(a+5). НОД знаменателей равен a. Общий знаменатель: a(a+3)(a+5)(a-3).
5. Числитель первого слагаемого (после умножения): (a²-5)(a-3).
6. Числитель второго слагаемого (при приведении): (a+5)(a+3)(a+5)=(a+3)(a+5)².
7. Это путь ведет к очень сложному выражению. Проверим ключ ответа: 16/9-a². Этот ответ предполагает, что результат зависит только от квадратов переменных или простых разностей. Ключевая подсказка: возможно, в условии опечатка и должно быть a²-9/...? Если заменить a²-5 на a²-9, то (a-3)(a+3)/a+3·1/a(a+5)-a+5/a(a-3)=a-3/a(a+5)-a+5/a(a-3). Это тоже не дает ключ.
   Давайте посмотрим на структуру ключа 16/9-a²=-16/(a-3)(a+3).
   Предположим, что задача решается по другому пути или в условии есть нюанс. Но мы обязаны решать по данному условию.
   Пересмотрим пункт а). Возможно, я неверно интерпретировал порядок действий? Умножение и деление идут слева направо, потом вычитание.
   Попробуем другой подход: может быть, в условии a²-9/a+3? Тогда первая часть: (a-3)(a+3)/a+3·1/a(a+5)=a-3/a(a+5). Вторая часть: a+5/a(a-3). Разность: (a-3)²-(a+5)²/a(a+5)(a-3)=a²-6a+9-(a²+10a+25)/...=-16a-16/.... Не подходит.
   
   Вернемся к строгому решению данного условия, даже если оно выглядит нестандартно для учебника 8 класса.
   a²-5/a(a+3)(a+5)-a+5/a(a-3)=(a²-5)(a-3)-(a+5)²(a+3)/a(a+3)(a+5)(a-3).
   Раскроем скобки в числителе:
   (a³-3a²-5a+15)-(a²+10a+25)(a+3)=a³-3a²-5a+15-(a³+3a²+10a²+30a+25a+75)=a³-3a²-5a+15-(a³+13a²+55a+75)=-16a²-60a-60.
   Ответ: -16a²-60a-60/a(a+3)(a+5)(a-3). Это не совпадает с ключом.
   
   Примечание: В таких случаях часто бывает, что в скане учебника цифра "9" считывается как "5" или наоборот. Если предположить, что в первом числителе стоит a²-9, а во втором знаменателе a²-3a, и при этом структура другая... Посмотрим на ключ 16/9-a². Знаменатель 9-a²=-(a-3)(a+3). Числитель 16. Это напоминает формулу разности квадратов (a+b)²-(a-b)²=4ab или подобные тождества.
   Если в условии пункта а) было: a+3/a²-9...? Нет.
   Давайте решим остальные пункты, они могут пролить свет на стиль задач.

   б) Выражение: 1-2x/2x+1+x²+3x/4x²-1:3+x/4x+2.

   1. Сначала выполним деление. Дроби раскладываем на множители:
      4x²-1=(2x-1)(2x+1),
      4x+2=2(2x+1),
      x²+3x=x(x+3).
   2. Заменяем деление умножением на обратную дробь:
      x(x+3)/(2x-1)(2x+1)·2(2x+1)/x+3.
   3. Сокращаем общие множители (x+3) и (2x+1):
      Получаем 2x/2x-1.
   4. Теперь складываем с первым слагаемым:
      1-2x/2x+1+2x/2x-1.
   5. Общий знаменатель: (2x+1)(2x-1)=4x²-1.
   6. Приводим к общему знаменателю:
      (1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)/4x²-1.
   7. Раскрываем скобки в числителе:
      (1-2x)(2x-1)=-(2x-1)(2x-1)=-(4x²-4x+1)=-4x²+4x-1.
      2x(2x+1)=4x²+2x.
      Сумма: (-4x²+4x-1)+(4x²+2x)=6x-1.
   8. Итог: 6x-1/4x²-1.

   Этот ответ полностью совпадает с ключом. Значит, методика верна, а в пункте а) действительно либо сложное выражение, либо опечатка в условии/ключе. Учитывая, что это задание из главы "Рациональные дроби", и ответы должны быть компактными, предположим, что в пункте а) также должна получиться красивая дробь. Но без изменения условия мы не можем подогнать ответ. Мы представим строгое решение по тексту.

   в) Выражение: b-c/a+b-ab-b²/a²-ac·a²-c²/a²-b².

   1. Выполним умножение дробей. Разложим на множители:
      ab-b²=b(a-b),
      a²-ac=a(a-c),
      a²-c²=(a-c)(a+c),
      a²-b²=(a-b)(a+b).
   2. Подставим в произведение:
      b(a-b)/a(a-c)·(a-c)(a+c)/(a-b)(a+b).
   3. Сокращаем (a-b) и (a-c):
      Получаем b(a+c)/a(a+b).
   4. Теперь вычитаем это из первой дроби:
      b-c/a+b-b(a+c)/a(a+b).
   5. Общий знаменатель: a(a+b).
   6. Приводим первую дробь:
      a(b-c)/a(a+b)-b(a+c)/a(a+b)=ab-ac-ab-bc/a(a+b).
   7. Упрощаем числитель:
      ab-ab-ac-bc=-ac-bc=-c(a+b).
   8. Итоговая дробь:
      -c(a+b)/a(a+b).
   9. Сокращаем (a+b):
      Ответ: -c/a.

   Ответ совпадает с ключом.

   г) Выражение: a²-4/x²-9:a²-2a/xy+3y+2-y/x-3.

   1. Выполним деление. Раскладываем на множители:
      a²-4=(a-2)(a+2),
      x²-9=(x-3)(x+3),
      a²-2a=a(a-2),
      xy+3y=y(x+3).
   2. Заменяем деление умножением на обратную дробь:
      (a-2)(a+2)/(x-3)(x+3)·y(x+3)/a(a-2).
   3. Сокращаем (a-2) и (x+3):
      Получаем y(a+2)/a(x-3).
   4. Теперь складываем со вторым слагаемым:
      y(a+2)/a(x-3)+2-y/x-3.
   5. Общий знаменатель: a(x-3).
   6. Приводим вторую дробь:
      y(a+2)+a(2-y)/a(x-3).
   7. Раскрываем скобки в числителе:
      ya+2y+2a-ay=2y+2a=2(a+y).
   8. Итог:
      2(a+y)/a(x-3).

   Ключ предлагает 2a+2y/ax-3a. Заметим, что ax-3a=a(x-3). Наш ответ идентичен ключу.

   Проверка и вывод:
   Пункты б), в), г) решены корректно и совпадают с эталонными ответами. Пункт а) при строгом следованию тексту условия (a²-5) приводит к громоздкому выражению, не совпадающему с ключом (16/9-a²). С высокой вероятностью в условии пункта а) опечатка (возможно, вместо a²-5 должно быть другое выражение, позволяющее получить ключ, например, связанное с a²-9 и другими коэффициентами, но восстановить его однозначно невозможно). Ниже приведено решение пункта а) строго по тексту условия, так как изменять данные нельзя.