8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 152: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 151 153 →

Условие

Упростите выражение

а) ((2m+1)/(2m-1) - (2m-1)/(2m+1)) : 4m/(10m-5)

б) (x+3)/(x²+9) · ((x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3)).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим пункт а) . Нам нужно упростить выражение (2m+1/2m-1-2m-1/2m+1):4m/10m-5.

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю (2m-1)(2m+1):

Числитель первой дроби умножаем на (2m+1), а второй — на (2m-1).
Получаем: (2m+1)²-(2m-1)²/(2m-1)(2m+1).

Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и разности:

(2m+1)²=4m²+4m+1
(2m-1)²=4m²-4m+1

Вычитаем их:
(4m²+4m+1)-(4m²-4m+1)=8m

Значит, выражение в скобках равно 8m/(2m-1)(2m+1).

Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь. Знаменатель делителя 10m-5 можно разложить как 5(2m-1).

8m/(2m-1)(2m+1)·5(2m-1)/4m

Сокращаем общие множители:
- 8m и 4m сокращаются до 2 и 1 соответственно.
- (2m-1) в числителе и знаменателе сокращаются.

Остаётся: 2·5/2m+1=10/2m+1.

Перейдём к пункту б) . Упростим выражение x+3/x²+9·(x+3/x-3+x-3/x+3).

Сначала сложим дроби в скобках. Общий знаменатель равен (x-3)(x+3)=x²-9.

(x+3)²+(x-3)²/(x-3)(x+3)

Раскроем квадраты в числителе:
(x+3)²=x²+6x+9
(x-3)²=x²-6x+9

Сумма числителей:
(x²+6x+9)+(x²-6x+9)=2x²+18=2(x²+9)

Таким образом, выражение в скобках принимает вид:
2(x²+9)/x²-9

Теперь умножим это на первую дробь из условия:
x+3/x²+9·2(x²+9)/x²-9

Сокращаем x²+9. Также заметим, что x²-9=(x-3)(x+3). Тогда выражение записывается как:
x+3/1·2/(x-3)(x+3)

Сокращаем (x+3):

2/x-3

Ответ

а) 10/2m+1

б) 2/x-3

В пункте а) важно не забыть разложить знаменатель делителя на множители для сокращения. В пункте б) ключевым моментом является свертывание суммы квадратов в числителе скобок, что позволяет сократить многочлен x²+9.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 152 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 152?

Краткий ответ: а) 102m+1; б) 2x-3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.