ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 150: Произведение и частное дробей

Рассмотрим каждое выражение по отдельности, применяя правила действий с алгебраическими дробями: приведение к общему знаменателю, разложение на множители и сокращение.

а) (x/y²-1/x):(1/y+1/x)

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю.
   Первая скобка: x·x-1·y²/xy²=x²-y²/xy².
   Вторая скобка: x+y/xy.
2. Выполним деление, умножив первую дробь на обратную ко второй: x²-y²/xy²·xy/x+y
3. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: x²-y²=(x-y)(x+y). (x-y)(x+y)/xy²·xy/x+y
4. Сократим общие множители (x+y) и xy: x-y/y

б) (a/m²+a²/m³):(m²/a²+m/a)

1. Приведем дроби к общему знаменателю.
   Первая скобка (знаменатель m³): am+a²/m³=a(m+a)/m³.
   Вторая скобка (знаменатель a²): m²+ma/a²=m(m+a)/a².
2. Выполним деление: a(m+a)/m³:m(m+a)/a²=a(m+a)/m³·a²/m(m+a)
3. Сократим общий множитель (m+a) и перемножим оставшиеся части: a·a²/m³·m=a³/m⁴ Примечание: В условии задачи или ключе может быть опечатка. Если бы во второй скобке было (m²/a+m/a²), ответ совпал бы с ключом. Однако строго по тексту условия (m²/a²+m/a) результат равен a³/m⁴. Проверим альтернативный вариант интерпретации, если в условии ошибка и вторая скобка равна m²+ma/a? Нет. Давайте перепроверим вычисления для получения ответа из ключа a²/m⁴. Чтобы получить a² в числителе после умножения, нужно чтобы в первой скобке был a, а во второй a² в знаменателе при перевороте... Хм. Посмотрим внимательно на условие б). (a/m²+a²/m³)=am+a²/m³. Вторая часть (m²/a²+m/a)=m²+ma/a². Деление: a(m+a)/m³·a²/m(m+a)=a³/m⁴. Ключ говорит a²/m⁴. Это возможно, если в первой скобке было просто a/m² без сложения? Или если вторая скобка была другой? Предположим, что в условии опечатка и первая скобка (1/m²+a/m³)? Тогда m+a/m³. Не подходит. А если вторая скобка (m²/a+m/a²)? Тогда m^2a+m/a². Не подходит. Наиболее вероятная опечатка в учебнике/ключе: в первой скобке должно быть не a/m²+a²/m³, а например 1/m²+a/m³? Нет. Давайте предположим, что я должен следовать математической строгости. Результат a³/m⁴. Но так как это школьная задача, часто бывает, что в условии a/m²+a²/m³ подразумевается вынесение общего множителя иначе? Нет.
   Давайте посмотрим на пункт в) и г), они проще. Вернемся к б). Если в условии было (a/m²+a²/m³):(m²/a+m/a²)? Вторая скобка: m^2a+m/a². Не упрощается красиво.
   Если в условии было (1/m²+a/m³):(m²/a²+m/a)? Первая: m+a/m³. Вторая: m(m+a)/a². Результат: m+a/m³·a²/m(m+a)=a²/m⁴. Вот оно! Скорее всего, в условии опечатка: вместо a/m² должно быть 1/m² или аналогичное изменение, приводящее к ключу. Однако, инструкция гласит: "считай строго по нему". Строго по условию ответ a³/m⁴. Но ключ — ориентир. Часто в таких задачах под "строго" понимается исправление очевидных опечаток OCR. Здесь опечатка неочевидна (пропуск единицы или лишняя буква). Попробую решить так, чтобы получить ключ, указав на возможную неточность в условии, но дадим решение, ведущее к ключу, предполагая, что в первой скобке числитель первого слагаемого равен 1, либо второе слагаемое имеет другую степень.
   Альтернатива: Может быть, во второй скобке m²/a³+…? Нет.
   Давайте решим строго по тексту, а в примечании укажем расхождение. Но пользователь просит "оригинальные пошаговые решения" и "ключ — ориентир". Если числа дают другой результат, пиши свой. Значит, пишу a³/m⁴.
   Однако , давайте еще раз проверим возможность того, что я неправильно прочитал условие. (a/m²+a²/m³). Общий знаменатель m³. Числитель am+a²=a(m+a). Все верно. Вторая скобка (m²/a²+m/a). Общий знаменатель a². Числитель m²+ma=m(m+a). Все верно. Деление: a(m+a)/m³·a²/m(m+a)=a³/m⁴.
   Ответ: a³/m⁴.

в) ab+b²/3:b³/3a+a+b/b

1. Сначала выполним действие деления (приоритет операций).
   Разложим числитель первой дроби: ab+b²=b(a+b). b(a+b)/3:b³/3a=b(a+b)/3·3a/b³
2. Сократим множители 3 и один b: a(a+b)/b²
3. Теперь прибавим вторую дробь a+b/b. Приведем к общему знаменателю b²: a+b/b=b(a+b)/b²
4. Сложим полученные дроби: a(a+b)/b²+b(a+b)/b²=(a+b)(a+b)/b²=(a+b)²/b²

г) x-y/x-5y/x²·x²-xy/5y

1. Сначала выполним умножение дробей.
   Разложим числитель второй дроби: x²-xy=x(x-y). 5y/x²·x(x-y)/5y
2. Сократим общие множители 5y и один x: x-y/x
3. Выполним вычитание: x-y/x-x-y/x=0