8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 155: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 154 156 →

Условие

Упростите выражение

а) (a²+2a+1)·(1/(a+1)+\frac{1}{(a^{2}-1)}-1/(a-1))

б) (1-(9x²+4/)}{(12x)}):(1/(3x)-1/2)+1

в) 1-(2/(a-2)-2/(a+2))·(a-(3a+2)/4)

г) (y^2 - 4)(3/(y+2)-2/(y-2))+5.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим каждое выражение по отдельности, применяя правила действий с рациональными дробями: приведение к общему знаменателю, разложение на множители и сокращение.

Пункт а)
Выражение: (a²+2a+1)·(1/a+1+1/a²-1-1/a-1)
План: Разложим первый множитель на квадраты суммы, а в скобках приведем дроби к общему знаменателю.
Вычисление:
Первый множитель: a²+2a+1=(a+1)².
Второй множитель (в скобках): общий знаменатель равен a²-1=(a-1)(a+1).
1/a+1+1/(a-1)(a+1)-1/a-1=a-1+1-(a+1)/(a-1)(a+1)=a-1+1-a-1/a²-1=-1/a²-1
Теперь умножаем результаты:
(a+1)²·-1/(a-1)(a+1)=-(a+1)/a-1=a+1/1-a
Проверка: Знак минус можно внести в знаменатель, получив a+1/1-a, что совпадает с ключом.
Пункт б)
Выражение: (1-9x²+4/12x):(1/3x-1/2)+1
План: Упростим выражения в скобках отдельно, затем выполним деление и сложение.
Вычисление:
Первая скобка: 1-9x²+4/12x=12x-(9x²+4)/12x=-9x²+12x-4/12x.
Числитель является полным квадратом с минусом: -(3x-2)².
Итак, первая часть равна -(3x-2)²/12x.
Вторая скобка: 1/3x-1/2=2-3x/6x=-(3x-2)/6x.
Деление:
-(3x-2)²/12x:-(3x-2)/6x=-(3x-2)²/12x·6x/-(3x-2)=3x-2/2
Сократили минусы, (3x-2) и 6x/12x=1/2.
Прибавляем единицу:
3x-2/2+1=3x-2+2/2=3x/2=1.5x
Проверка: Результат 1.5x совпадает с ключом.
Пункт в)
Выражение: 1-(2/a-2-2/a+2)·(a-3a+2/4)
План: Упростим каждую скобку, перемножим их, затем вычтем результат из 1.
Вычисление:
Первая скобка: 2(a+2)-2(a-2)/(a-2)(a+2)=2a+4-2a+4/a²-4=8/a²-4.
Вторая скобка: 4a-(3a+2)/4=a-2/4.
Произведение:
8/(a-2)(a+2)·a-2/4=2/a+2
(Сократили 8 на 4, получили 2; сократили (a-2)).
Итоговое выражение:
1-2/a+2=a+2-2/a+2=a/a+2
Проверка: Ответ a/a+2 верен.
Пункт г)
Выражение: (y²-4)(3/y+2-2/y-2)+5
План: Распределительный закон или упрощение в скобках. Удобнее умножить (y²-4) на каждую дробь отдельно, так как y²-4=(y-2)(y+2).
Вычисление:
(y-2)(y+2)·3/y+2-(y-2)(y+2)·2/y-2+5
Сокращаем дроби:
Первое слагаемое: 3(y-2)=3y-6.
Второе слагаемое: 2(y+2)=2y+4.
Подставляем обратно:
(3y-6)-(2y+4)+5=3y-6-2y-4+5
Приводим подобные:
y-10+5=y-5
Проверка: Результат y-5 совпадает с ключом.

Ответ

а) 1+a/1-a

б) 1.5x

в) a/a+2

г) y-5

Во всех пунктах важно аккуратно работать со знаками при приведении к общему знаменателю и при раскрытии скобок. В пункте б) ключевым моментом является распознавание полного квадрата в числителе первой скобки. В пункте г) эффективнее использовать распределительное свойство умножения многочлена на сумму дробей, чем сначала приводить дроби к общему знаменателю внутри скобок.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 155 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 155?

Краткий ответ: а) 1+a1-a; б) 1.5x; в) aa+2; г) y-5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.