ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 159: Произведение и частное дробей

Для решения задачи проанализируем структуру данного выражения. Оно состоит из двух множителей: первого A=0,5(a-1)²-18 и второго B=a+5/a-7+a-7/a+5. Нам нужно найти значение параметра a, при котором произведение A·B будет минимальным.

Рассмотрим второй множитель B. Приведем его к общему знаменателю:

B=(a+5)²+(a-7)²/(a-7)(a+5)

Раскроем скобки в числителе:

(a+5)²+(a-7)²=a²+10a+25+a²-14a+49=2a²-4a+74

Знаменатель равен (a-7)(a+5)=a²-2a-35. Заметим, что числитель можно выразить через знаменатель или просто оценить его знак. Дискриминант квадратного трехчлена 2a²-4a+74 равен D=(-4)²-4·2·74=16-592<0. Так как старший коэффициент положителен (2>0), то числитель всегда положителен для любого a. Знаменатель может быть отрицательным, нулевым или положительным. Однако область определения исходного выражения требует a≠7 и a≠-5.

Давайте посмотрим на первый множитель A=0,5(a-1)²-18. Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке a=1. В этой точке A принимает свое наименьшее значение: A_min=0,5(1-1)²-18=-18.

Теперь оценим поведение всего произведения F(a)=A·B. Если мы подставим a=1 в выражение для B, получим:

B(1)=1+5/1-7+1-7/1+5=6/-6+-6/6=-1+(-1)=-2

Тогда значение всего выражения при a=1 равно:

F(1)=A(1)·B(1)=(-18)·(-2)=36

Проверим, может ли значение быть меньше 36. Множитель A достигает минимума -18 при a=1. При отклонении a от 1, величина A увеличивается (становится менее отрицательной или положительной). Множитель B является сложной функцией. Однако, если предположить, что задача составлена так, чтобы минимум достигался в «особой» точке симметрии или вершине параболы одного из множителей, то точка a=1 является кандидатом номер один.

Рассмотрим знаки. Чтобы произведение было минимальным (то есть самым большим по модулю отрицательным числом или наименьшим положительным?), обычно в таких школьных задачах подразумевается глобальный минимум функции. Но давайте проверим другие точки. Например, если A>0, а B<0, произведение отрицательно. Может ли оно быть меньше 36? Да, например, если A=10,B=-10, то результат -100. Но давайте внимательно прочитаем условие: «принимает наименьшее значение». Обычно это означает глобальный минимум на области определения.

Однако, ключ ответа говорит «При a=1; 36». Это подсказывает нам, что либо я неправильно интерпретирую «наименьшее», либо функция имеет локальный минимум/экстремум именно там, либо есть ограничение на область значений, которое я упустил. Давайте пересчитаем B более аккуратно.

B=2a²-4a+74/a²-2a-35

Выделим целую часть: 2(a²-2a-35)+70+74/a²-2a-35=2+144/a²-2a-35

Обозначим t=a²-2a-35. Тогда B=2+144/t.

Первый множитель A=0,5(a-1)²-18. Заметим, что t=(a-1)²-36. Пусть u=(a-1)², где u≥0. Тогда A=0,5u-18 и t=u-36.

Функция примет вид: F(u)=(0,5u-18)(2+144/u-36)

Упростим скобку: 2+144/u-36=2(u-36)+144/u-36=2u-72+144/u-36=2u+72/u-36=2(u+36)/u-36

Теперь подставим обратно в F(u):

F(u)=(0,5u-18)·2(u+36)/u-36=u-36/2·2(u+36)/u-36

Здесь происходит сокращение! При условии, что u≠36 (что соответствует a≠1±6, т.е. a≠7,a≠-5, что совпадает с ОДЗ).

После сокращения получаем:

F(u)=u+36

Вспомним, что u=(a-1)². Таким образом, исходное выражение тождественно равно:

F(a)=(a-1)²+36

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Квадрат числа (a-1)² всегда неотрицателен и принимает минимальное значение 0 при a-1=0, то есть при a=1.

Следовательно, минимальное значение всей функции равно 0+36=36.