ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 160: Произведение и частное дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти значение b, при котором выражение 81 / ((0,5b+9)2 + (0,5b-9)^2) принимает наибольшее значение, и вычислить это значение.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы дробь 81/(0,5b+9)2+(0,5b-9)2 принимала наибольшее значение, необходимо, чтобы её знаменатель был наименьшим. Числитель 81 является положительной константой, поэтому поведение всей дроби полностью зависит от выражения в знаменателе.
Раскроем скобки в знаменателе и упростим его. Используем формулы сокращённого умножения (x+y)2=x2+2xy+y2 и (x-y)2=x2-2xy+y2:
- (0,5b+9)2=(0,5b)2+2·0,5b·9+92=0,25b2+9b+81
- (0,5b-9)2=(0,5b)2-2·0,5b·9+92=0,25b2-9b+81
Сложим полученные выражения:
(0,25b2+9b+81)+(0,25b2-9b+81)=0,5b2+162Таким образом, исходное выражение принимает вид 81/0,5b2+162. Чтобы эта дробь была максимальной, знаменатель 0,5b2+162 должен быть минимальным. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (b2≥0), то слагаемое 0,5b2 достигает своего минимального значения 0 только при условии b=0.
Вычислим значение выражения при найденном b=0:
81/0,5·02+162=81/162=1/2Проверка: если взять любое другое значение b, например b=2, то знаменатель станет больше (0,5´4+162=164), а сама дробь меньше (81/164<81/162). Следовательно, максимум действительно достигается при b=0.
b=0; 1/2
Задача сводится к нахождению минимума квадратичной функции в знаменателе. После раскрытия скобок линейные члены сокращаются, остаётся сумма квадратов. Минимум суммы квадратов достигается, когда оба слагаемых равны нулю или их комбинация минимальна. Здесь 0,5b2 минимален при b=0.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 160 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 160?
Краткий ответ: b=0; 12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.