8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 164: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 163 165 →

Условие

Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (9/n²+n/3):(3/n²-1/n+1/3) является натуральным числом.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Запишем данное выражение в виде одной алгебраической дроби.
Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю отдельно для каждой части (деления).
Выполним деление дробей, умножив первую на вторую, перевернутую вверх ногами.
Упростим полученное выражение и покажем, что при любом натуральном n результат является целым положительным числом.

Ход вычислений:

Исходное выражение: (9/n²+n/3):(3/n²-1/n+1/3)

Сначала упростим выражение в первой скобке (числитель итоговой дроби). Общий знаменатель равен 3n²:

9/n²+n/3=9·3/3n²+n·n²/3n²=27+n³/3n²

Теперь упростим выражение во второй скобке (знаменатель итоговой дроби). Общий знаменатель также равен 3n²:

3/n²-1/n+1/3=3·3/3n²-1·3n/3n²+1·n²/3n²=9-3n+n²/3n²

Выполним деление двух полученных дробей. При делении дробей первую умножаем на обратную ко второй:

27+n³/3n²:n²-3n+9/3n²=27+n³/3n²·3n²/n²-3n+9

Заметим, что множители 3n² в числителе и знаменателе сокращаются:

27+n³/n²-3n+9

Вспомним формулу суммы кубов: a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²). В нашем случае a=n, а b=3, так как 27=3³. Тогда:

n³+27=n³+3³=(n+3)(n²-3n+9)

Подставим это разложение в числитель нашей дроби:

(n+3)(n²-3n+9)/n²-3n+9

Множитель (n²-3n+9) сокращается (так как дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, он не обращается в ноль ни при каком реальном n):

n+3

Проверка и вывод:

Мы получили, что исходное сложное выражение тождественно равно n+3. По условию задачи n — натуральное число (n∈N). Сумма натурального числа и натурального числа 3 всегда является натуральным числом. Следовательно, значение выражения действительно является натуральным числом при любом допустимом n.

Ответ

Доказано: выражение тождественно равно n+3, что является натуральным числом.

Ключевые моменты: приведение к общему знаменателю внутри скобок, использование формулы суммы кубов для сокращения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 164 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 164?

Краткий ответ: Доказано: выражение тождественно равно n+3, что является натуральным числом.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.