ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 167: Произведение и частное дробей

Для того чтобы представить данную дробь в виде отношения многочленов, необходимо освободить числитель и знаменатель от внутренних дробей. Для этого умножим всю исходную дробь на выражение, которое является общим знаменателем для всех слагаемых внутри неё (или приведём к общему знаменателю отдельно числитель и знаменатель).

а) Дробь: 2-a/x/2+a/x.
Умножим числитель и знаменатель на x:
(2-a/x)·x/(2+a/x)·x=2x-a/2x+a
Полученное отношение 2x-a/2x+a является отношением двух многочленов.

б) Дробь: a-b/c+3/a+b/c-1.
Умножим числитель и знаменатель на c:
(a-b/c+3)·c/(a+b/c-1)·c=(a-b)+3c/(a+b)-c=a-b+3c/a+b-c
Ответ: a-b+3c/a+b-c.

в) Дробь: 1/x+1/y/1/x-1/y.
Приведём слагаемые в числителе и знаменателе к общему знаменателю xy, либо просто умножим всю дробь на xy:
(1/x+1/y)·xy/(1/x-1/y)·xy=y+x/y-x
Ответ: x+y/y-x (или y+x/y-x).

г) Дробь: x-y/x/x-y/y.
Деление дроби на дробь заменяем умножением на обратную:
x-y/x·y/x-y
Сокращаем общий множитель (x-y) (при условии x≠y):
1/x·y/1=y/x
Здесь возникает расхождение с ключом. В ключе указан ответ xy/x+y, что соответствует другой задаче (например, сумме обратных величин или сложению дробей). Однако строго по условию пункта г) x-y/x/x-y/y результат равен y/x. Если же в условии опечатка и имелось в виду 1/x+1/y/... или иное, то нужно исходить из текста. Но давайте перепроверим типичные ошибки в таких задачах. Часто путают с задачей 1/x+1/y/1/x-1/y (это пункт в). А пункт г) часто бывает вида x-y/x/x-y/y. Результат y/x — это отношение одночленов, которые являются многочленами первой степени. Ключ xy/x+y получается, если бы было 1/1/x+1/y. Учитывая строгое следование тексту условия «Представьте в виде отношения многочленов», правильным математическим выводом для данного выражения является сокращение. Однако , если предположить, что в условии учебника под пунктом г) скрывалась другая конструкция, например, 1/x+1/y/1? Нет. Давайте посмотрим на структуру ключа. Ключ для г) xy/x+y. Это равно 1/1/x+1/y. Возможно, условие было 1/1/x+1/y? Или x+y/xy/1? В тексте условия написано: ((x-y)/x)/((x-y)/y). Математически это y/x. Я обязан следовать правилу: «если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Поэтому я приведу решение y/x и отмечу несоответствие с ключом как возможную ошибку в источнике или условии, но дам верный вывод из написанного.