ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 169: Произведение и частное дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Выполните подстановку и упростите полученное выражение
а) (a+b)/(a-b), если a = 1/(1-x), b = 1/(1+x)
б) ax/(a+x) - bx/(b-x), если x = ab/(a-b).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче нам нужно выполнить подстановку заданных значений переменных в алгебраические выражения и упростить результат. Разберём каждый пункт отдельно, следуя плану: сначала подставим значения, затем приведём к общему знаменателю или выполним тождественные преобразования, и наконец сократим дробь.
а) Выражение: a+b/a-b, где a=1/1-x, b=1/1+x.
- Подставим значения a и b в числитель и знаменатель.
Числитель: a+b=1/1-x+1/1+x.
Знаменатель: a-b=1/1-x-1/1+x. - Упростим числитель, приведя дроби к общему знаменателю (1-x)(1+x)=1-x2:
a+b=1(1+x)+1(1-x)/(1-x)(1+x)=1+x+1-x/1-x2=2/1-x2. - Упростим знаменатель аналогично:
a-b=1(1+x)-1(1-x)/(1-x)(1+x)=1+x-1+x/1-x2=2x/1-x2. - Теперь разделим упрощённый числитель на упрощённый знаменатель:
a+b/a-b=2/1-x2/2x/1-x2. - При делении дробей умножаем первую на вторую, перевернутую вверх ногами (или просто сокращаем одинаковые множители):
2/1-x2·1-x2/2x=2/2x=1/x.
Проверка: Результат 1/x совпадает с ориентировочным ключом. Логика верна: сложные дроби сократились корректно.
б) Выражение: ax/a+x-bx/b-x, где x=ab/a-b.
- Вычислим первое слагаемое ax/a+x. Подставим x:
Числитель: ax=a·ab/a-b=a2b/a-b.
Знаменатель: a+x=a+ab/a-b=a(a-b)+ab/a-b=a2-ab+ab/a-b=a2/a-b.
Дробь: a2b/a-b/a2/a-b=a2b/a-b·a-b/a2=b. - Вычислим второе слагаемое bx/b-x. Подставим x:
Числитель: bx=b·ab/a-b=ab2/a-b.
Знаменатель: b-x=b-ab/a-b=b(a-b)-ab/a-b=ab-b2-ab/a-b=-b2/a-b.
Дробь: ab2/a-b/-b2/a-b=ab2/a-b·a-b/-b2=-a. - Соберём всё вместе в исходное выражение:
ax/a+x-bx/b-x=b-(-a)=b+a=a+b.
Проверка: Мы получили a+b, что соответствует ключу. Важно было не ошибиться со знаком при вычитании во втором слагаемом (b-x), так как это привело к минусу перед a, который затем превратился в плюс при вычитании отрицательного числа.
а) 1/x
б) a+b
Решение построено на последовательном упрощении сложных дробей. В пункте а) использовано приведение к общему знаменателю для числителя и знаменателя основной дроби. В пункте б) каждое слагаемое упрощалось независимо путём подстановки x и сокращения промежуточных дробей. Особое внимание уделено знакам в пункте б). Формулы оформлены в TeX.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 169 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 169?
Краткий ответ: а) 1x; б) a+b.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.