ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 165: Произведение и частное дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Представить в виде многочлена или рациональной дроби
а) (n+1/n)2
б) (a/b-b/a)2
в) (x/y+1)2+(x/y-1)2
г) (p/q+q/p)2-(p/q-q/p)2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для выполнения задания необходимо раскрыть квадраты двучленов по формулам сокращенного умножения: (A+B)2=A2+2AB+B2 и (A-B)2=A2-2AB+B2, а затем привести полученные выражения к общему знаменателю или упростить их.
а) Раскроем скобки в выражении $ / n+1$}{n}$ ^{2}:</p><ol><li>Применим формулу квадрата суммы: (n+1)2/n2 = /n2 + 2n + 1$}{n^{2}}$ .</li><li>Разделим почленно числитель на знаменатель: n2/n2 + 2n/n2 + 1/n2 = 1 + 2/n + 1/n2 .</li></ol><p><strong>б)</strong> Раскроем скобки в выражении a/b - b/a ^{2}:</p><ol><li>Применим формулу квадрата разности: a2/b2 - 2 a/b b/a + b2/a2 .</li><li>Упростим среднее слагаемое (произведение взаимно обратных дробей равно 1): a2/b2 - 2 + b2/a2 .</li><li>Приведем к общему знаменателюa^{2b}^{2}: /a4 - 2a^2b 2+b4 = (a2-b2)2/a2b2 .</li></ol><p><strong>в)</strong> Упростим выражение x/y + 1 ^{2} + x/y - 1 ^{2}:</p><ol><li>Раскроем каждый квадрат отдельно:<ul><li> x/y + 1 ^{2} = x2/y2 + 2x/y + 1</li><li> x/y - 1 ^{2} = x2/y2 - 2x/y + 1</li></ul></li><li>Сложим полученные результаты. Слагаемые\frac{2x}{y}и-\frac{2x}{y}$ взаимно уничтожаются: x2/y2+x2/y2+1+1=2x2/y2+2
г) Упростим выражение $ p/q + q/p ^{2} - p/q - q/p ^{2}:</p><ol><li>Воспользуемся тождеством(A+B)^{2} - (A-B)^{2} = 4AB . Здесь A = \frac{p}{q}, B = \frac{q}{p}$.
Проверка для пункта г) через полное раскрытие: $ (\frac{p^2}{q^2}+2+\frac{q^2}{p^2})-(\frac{p^2}{q^2}-2+\frac{q^2}{p^2})=2-(-2)=4 $. Результат верный.
а) 1+2/n+1/n2
б) a2/b2-2+b2/a2
в) 2x2+2y2/y2
г) 4
В пункте а) можно оставить ответ как одну дробь n2+2n+1/n2, но форма многочлена с отрицательными степенями часто предпочтительнее при требовании 'представить в виде...'. В пункте б) также допустима запись одной дробью. Пункты в) и г) являются классическими примерами на применение формул сокращенного умножения и свойств взаимно обратных величин.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 165 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 165?
Краткий ответ: а) 1 + 2n + 1n^2; б) a^2b^2 - 2 + b^2a^2; в) 2x^2+2y^2y^2; г) 4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.