8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 162: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 161 163 →

Условие

Доказать тождества

а) (1,/2x² - xy )36x² - 0,25y²) = 20x/(6x+5y)

б) (4,/5a+4x)81a² - 0,64x²) = 50/(9a-8x).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для доказательства тождеств необходимо преобразовать левую часть каждого равенства так, чтобы она совпала с правой частью. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращённого умножения (разность квадратов) и вынесение общего множителя за скобки. Затем сократим дробь.

Решение пункта а)

Дано тождество: 1,2x²-xy/0,36x²-0,25y²=20x/6x+5y

Разложим числитель левой части. Вынесем общий множитель x: 1,2x²-xy=x(1,2x-y) Чтобы удобнее было работать с коэффициентами, представим десятичные дроби в виде обыкновенных или домножим на 10/10 внутри скобки, но проще сразу привести к целым коэффициентам при сокращении. Заметим, что 1,2=6/5 и 0,36=9/25, 0,25=1/4. Однако, давайте попробуем алгебраический путь с десятичными дробями, приведя их к виду, удобному для сокращения. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 100, чтобы избавиться от запятых в знаменателе и упростить работу с числителем (или просто разложим как есть): Числитель: x(1,2x-y). Знаменатель: это разность квадратов (0,6x)²-(0,5y)², так как 0,36=0,6 и 0,25=0,5. 0,36x²-0,25y²=(0,6x-0,5y)(0,6x+0,5y)
Подставим разложения в дробь: x(1,2x-y)/(0,6x-0,5y)(0,6x+0,5y)
Заметим связь между множителем в числителе и первым множителем в знаменателе. Вынесем из скобки (1,2x-y) коэффициент 2: 1,2x-y=2(0,6x-0,5y) Тогда числитель станет: x·2(0,6x-0,5y)=2x(0,6x-0,5y).
Сократим общую скобку (0,6x-0,5y): 2x(0,6x-0,5y)/(0,6x-0,5y)(0,6x+0,5y)=2x/0,6x+0,5y
Приведём полученную дробь к виду правой части. Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы убрать десятичные знаки в знаменателе: 2x·10/(0,6x+0,5y)·10=20x/6x+5y Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Решение пункта б)

Дано тождество: 4,5a+4x/0,81a²-0,64x²=50/9a-8x

Разложим знаменатель левой части по формуле разности квадратов. Заметим, что 0,81a²=(0,9a)² и 0,64x²=(0,8x)². 0,81a²-0,64x²=(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)
Рассмотрим числитель левой части: 4,5a+4x. Попробуем выделить множитель, похожий на один из множителей знаменателя. Заметим, что 4,5a=5·0,9a и 4x=5·0,8x. Вынесем общий множитель 5 за скобки: 4,5a+4x=5(0,9a+0,8x)
Подставим разложения в исходную дробь: 5(0,9a+0,8x)/(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)
Сократим общую скобку (0,9a+0,8x): 5/0,9a-0,8x
Приведём результат к виду правой части. Нам нужно получить в числителе 50, а в знаменателе целые коэффициенты 9a-8x. Умножим числитель и знаменатель дроби на 10: 5·10/(0,9a-0,8x)·10=50/9a-8x Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Проверка:

В обоих случаях мы последовательно применили правила разложения многочленов на множители и основное свойство дроби (умножение числителя и знаменателя на одно и то же число). Алгебраические преобразования верны, тождества доказаны.

Ответ

а) Доказано

б) Доказано

Задача требует аккуратной работы с десятичными дробями. Ключевой момент — увидеть скрытые множители (например, связь 1,2x-y и 0,6x-0,5y через коэффициент 2, или связь 4,5a+4x и 0,9a+0,8x через коэффициент 5). После сокращения дробей необходимо домножить числитель и знаменатель на степень десятки, чтобы привести ответ к требуемому виду.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 162 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 162?

Краткий ответ: а) Доказано; б) Доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.