8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 161: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 160 162 →

Условие

Доказать тождества

а) ((2p-q)/(pq) - 1/(p+q)) * (p/q-q/p)=1/q

б) (a + b)/(2(a - b)) - (a - b)/(2(a + b)) = b/(a-b) - (b²-ab)/(a²-b²).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для пункта а) упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю, затем упростим выражение во вторых скобках и перемножим результаты.
Для пункта б) преобразуем левую часть (ЛЧ), приведя слагаемые к общему знаменателю, затем преобразуем правую часть (ПЧ), сократив вторую дробь, и сравним полученные выражения.

Вычисление:

а) Рассмотрим левую часть тождества: (2p-q/pq-1/p+q)·(p/q-q/p)

Сначала упростим первую скобку. Общий знаменатель равен pq(p+q):

(2p-q)(p+q)-pq/pq(p+q)=2p²+2pq-pq-q²-pq/pq(p+q)=2p²-q²/pq(p+q)

Теперь упростим вторую скобку. Общий знаменатель равен pq:

p²-q²/pq=(p-q)(p+q)/pq

Перемножим полученные выражения:

2p²-q²/pq(p+q)·(p-q)(p+q)/pq=(2p²-q²)(p-q)/p²q²

Данное выражение не равно правой части 1/q при произвольных значениях переменных. Проверим на конкретном примере: пусть p=2,q=1. ЛЧ: (3/2-1/3)·(2-1/2)=7/6·3/2=7/4. ПЧ: 1/1=1. 7/4≠1. Следовательно, тождество неверно или в условии опечатка (возможно, числитель первой дроби должен быть другим, например, чтобы сократить до нужного результата).

Однако, если предположить стандартную ошибку в условии учебника и попытаться найти путь к ответу 1/q, часто такие задачи строятся так, что после сокращения остается 1/q. Давайте перепроверим алгебраические преобразования. Возможно, я неправильно интерпретировал структуру? Нет, структура ясна. Если задача требует именно доказать , а результат не сходится, значит, условие содержит ошибку. Но для школьного решения обычно ожидается верный путь. Попробуем другой вариант: может быть, во второй скобке (p/q-q/p) стоит умножить на что-то другое? Или в первой скобке минус вместо плюса?

Давайте решим пункт б) , он более прозрачен.

б) Левая часть: a+b/2(a-b)-a-b/2(a+b) Общий знаменатель: 2(a-b)(a+b)=2(a²-b²). Числитель: (a+b)²-(a-b)²=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=4ab. Значит, ЛЧ равна: 4ab/2(a²-b²)=2ab/a²-b²

Правая часть: b/a-b-b²-ab/a²-b² Преобразуем вторую дробь: b²-ab=-b(a-b). Знаменатель: (a-b)(a+b). -b(a-b)/(a-b)(a+b)=-b/a+b Тогда ПЧ принимает вид: b/a-b-(-b/a+b)=b/a-b+b/a+b Приведем к общему знаменателю (a-b)(a+b)=a²-b²: b(a+b)+b(a-b)/a²-b²=ab+b²+ab-b²/a²-b²=2ab/a²-b²

Таким образом, ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Проверка:

В пункте б) мы получили одинаковые выражения 2ab/a²-b² для левой и правой частей, что подтверждает верность тождества. В пункте а) прямое вычисление показало неравенство сторон, что указывает на возможную опечатку в исходном условии задачи №161а (например, если бы первая скобка была 2p-q/pq+… или другие знаки). Тем не менее, методика решения через приведение к общему знаменателю и упрощение является верной.

Ответ

а) Тождество неверно (в условии вероятна опечатка)

б) Доказано: обе части равны 2ab/a²-b².

В пункте а) при строгом алгебраическом преобразовании левая часть не сводится к правой (1/q). Это частая ситуация в старых сборниках задач, где встречаются опечатки в коэффициентах. Решение пункта б) корректно и приводит к тождеству.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 161 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 161?

Краткий ответ: а) Тождество неверно (в условии вероятна опечатка); б) Доказано: обе части равны 2aba^2 - b^2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.