ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 163: Произведение и частное дробей

План решения:

Чтобы доказать, что значения выражений не зависят от переменных, необходимо упростить каждое алгебраическое выражение до числовой константы. Для этого выполним действия в порядке приоритета: сначала преобразуем слагаемые внутри скобок к общему знаменателю или разложим на множители, затем выполним сложение/вычитание и умножение дробей. В итоге все переменные должны сократиться.

Решение пункта а)

Дано выражение: (2ab/a²-b²+a-b/2a+2b)·(2a/a+b+b/b-a)

1. Упростим первую скобку. Разложим знаменатели на множители: a²-b²=(a-b)(a+b) и 2a+2b=2(a+b). Общий знаменатель для первой скобки будет 2(a-b)(a+b).

Числитель является квадратом суммы: a²+2ab+b²=(a+b)². Тогда первая скобка равна:

2. Упростим вторую скобку. Заметим, что b-a=-(a-b). Приведем дроби к общему знаменателю (a+b)(a-b):

Разложим числитель 2a²-3ab-b² на множители. Корни квадратного уравнения относительно a: D=9b²+8b²=17b² — здесь проще заметить группировку или использовать формулу дискриминанта для факторизации. Попробуем подобрать множители вида (2a+k₁b)(a+k₂b). Произведение свободных членов k₁k₂=-1, сумма перекрестных 2k₂+k₁=-3. Если k₁=1,k₂=-1, то 2(-1)+1=-1≠-3. Если k₁=-1,k₂=1, то 2(1)-1=1. Ошибка в вычислении? Проверим снова: 2a²-3ab-b². Дискриминант по a: D=(-3b)²-4·2·(-b²)=9b²+8b²=17b². Это не полный квадрат, значит, разложение на рациональные множители невозможно. Перепроверим условие задачи. Обычно в таких задачах всё красиво сокращается. Возможно, я ошибся в приведении второй скобки?

Давайте посмотрим внимательнее на вторую скобку: 2a/a+b+b/b-a. Общий знаменатель (a+b)(b-a). Числитель: 2a(b-a)+b(a+b)=2ab-2a²+ab+b²=-2a²+3ab+b². Это тоже не раскладывается красиво. Перечитаем условие внимательно. Может быть там 2a/a+b-b/a-b? Или другое? Нет, условие дано строго. Попробуем другой путь. Может быть, опечатка в моём восприятии стандартной задачи? Часто бывает a/a+b.... Но мы решаем как есть. Однако, давайте проверим пункт б), может там всё чисто, а тут нужно просто аккуратно домножить.

Вернемся к произведению двух упрощенных частей: Часть 1: a+b/2(a-b) Часть 2: -2a²+3ab+b²/(a+b)(b-a)=-(2a²-3ab-b²)/-(a+b)(a-b)=2a²-3ab-b²/(a+b)(a-b) Произведение: a+b/2(a-b)·2a²-3ab-b²/(a+b)(a-b)=2a²-3ab-b²/2(a-b)² Это выражение зависит от переменных. Например, если a=2,b=1, то числитель 8-6-1=1, знаменатель 2(1)²=2, результат 0.5. Если a=3,b=1, то числитель 18-9-1=8, знаменатель 2(4)=8, результат 1. Значения разные. Значит, либо в условии опечатка, либо я неправильно интерпретировал знаки. Давайте предположим, что во второй скобке минус перед дробью со знаменателем b-a превращает его в плюс при замене на a-b? Нет, b/b-a=-b/a-b. Так и было. Возможно, в первой скобке должно быть минус? 2ab/a²-b²-a-b/2(a+b)=4ab-(a-b)²/...=4ab-a²+2ab-b²/...=-(a²-6ab+b²)/.... Тоже плохо. Давайте посмотрим на типичную задачу №163 из учебника Макарычева или Мордковича. Часто там встречается выражение: (2ab/a²-b²+a-b/2a+2b):(2a/a+b-b/a-b)? Или умножение? Если бы во второй скобке было 2a/a+b-b/a-b, то числитель был бы 2a(a-b)-b(a+b)=2a²-2ab-ab-b²=2a²-3ab-b². То же самое. А если бы было a/a+b...? Попробуем вариант, где ответ должен быть константой. Допустим, во второй скобке стоит 2a/a+b+b/a-b (знаменатель a-b). Тогда общий знаменатель (a+b)(a-b). Числитель 2a(a-b)+b(a+b)=2a²-2ab+ab+b²=2a²-ab+b². Не сокращается. Есть вероятность, что в условии ошибка переписывания, но инструкция говорит "считай строго по нему". Однако, если математически доказательство невозможно (так как зависит от переменных), это проблема условия. Но обычно такие задачи имеют решение. Давайте еще раз проверим арифметику первой скобки. 2ab/(a-b)(a+b)+a-b/2(a+b)=4ab+(a-b)²/2(a-b)(a+b)=4ab+a²-2ab+b²/2(a-b)(a+b)=a²+2ab+b²/2(a-b)(a+b)=(a+b)²/2(a-b)(a+b)=a+b/2(a-b). Верно. Вторая скобка: 2a/a+b+b/b-a. b-a=-(a-b). 2a/a+b-b/a-b=2a(a-b)-b(a+b)/(a+b)(a-b)=2a²-2ab-ab-b²/(a+b)(a-b)=2a²-3ab-b²/(a+b)(a-b). Верно. Произведение: a+b/2(a-b)·2a²-3ab-b²/(a+b)(a-b)=2a²-3ab-b²/2(a-b)². Это точно не константа. Примечание: В школьных задачах такого типа часто подразумевается, что ученик заметит ошибку или в условии должна быть другая комбинация знаков. Например, если бы во второй скобке было a/a+b+b/b-a? Нет. Если бы в первой скобке было 2ab/a²-b²-a+b/2(a-b)? Давайте попробуем изменить знак во второй скобке на минус перед всей дробью? Нет. Предположим, что в условии опечатка и должно быть так, чтобы получилось красиво. Часто встречается пара: 1) a+b/2(a-b) 2) 2(a-b)/a+b -> тогда произведение 1. Как получить 2(a-b)/a+b из второй части? 2a/a+b-2b/a+b? Нет. Так как я обязан решить строго по условию, а результат зависит от переменных, я должен указать на это или найти способ, который я упустил. Может быть, b/(b-a) это -b/(a-b). Да. Может быть, в первой скобке 2a+2b это 2(a+b). Да. Давайте посмотрим на пункт Б, возможно там всё корректно, и это поможет понять стиль ошибок.

Решение пункта б)

Дано выражение: y/x-y-x³-xy²/x²+y²·(x/(x-y)²-y/x²-y²)

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей в скобках: (x-y)²(x+y), так как x²-y²=(x-y)(x+y).

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное. Также упростим дробь перед скобкой: x³-xy²/x²+y²=x(x²-y²)/x²+y²=x(x-y)(x+y)/x²+y².

Теперь выполним умножение:

Сокращаем общие множители (x²+y²), (x+y) и один (x-y):

3. Теперь выполним вычитание первого члена и результата умножения:

Значение выражения равно -1, что не зависит от переменных x и y (при допустимых значениях).

Проверка и вывод по пункту а):

Для пункта а) мы получили выражение 2a²-3ab-b²/2(a-b)², которое принимает различные значения при разных a,b. Однако, в контексте школьной программы и номера 163, вероятнее всего, в условии пункта а) присутствует опечатка в знаках или коэффициентах, которая делает задачу нерешаемой в рамках требования "не зависит от переменных" без исправления условия. Тем не менее, согласно инструкции "считай строго по нему", мы показали процесс упрощения. Если предположить стандартную "правильную" версию этой задачи, где ответом является константа, то чаще всего там фигурирует структура, приводящая к 1 или -1. Но без изменения условия мы не можем получить константу.

Примечание для учителя: Пункт б) решен корректно и дает константу -1. Пункт а) при строгом следованию тексту условия не сводится к константе. Рекомендуется проверить источник условия на предмет опечатки (например, вместо 2a в числителе второй дроби могло быть a, или другие вариации).