8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 168: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 167 169 →

Условие

Выполните подстановку и упростите полученное выражение

а) (x-a)/(x-b), если x = ab/(a+b)

б) (a//b-x)a+x), если x = (a-b)/(a+b).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

В пункте а) подставим значение x=ab/a+b в выражение x-a/x-b.
Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю (a+b), выполним вычитание и сократим дробь.
В пункте б) подставим значение x=a-b/a+b в выражение a/b-x/b/a+x.
Упростим сложные дроби в числителе и знаменателе отдельно, затем разделим полученные результаты.

Вычисление:

а) Подставляем x:

x-a/x-b=ab/a+b-a/ab/a+b-b

Преобразуем числитель:

ab/a+b-a=ab-a(a+b)/a+b=ab-a²-ab/a+b=-a²/a+b

Преобразуем знаменатель:

ab/a+b-b=ab-b(a+b)/a+b=ab-ab-b²/a+b=-b²/a+b

Делим числитель на знаменатель:

-a²/a+b/-b²/a+b=-a²/a+b·a+b/-b²=a²/b²

б) Подставляем x:

a/b-x/b/a+x=a/b-a-b/a+b/b/a+a-b/a+b

Упрощаем числитель (общий знаменатель b(a+b)):

a/b-a-b/a+b=a(a+b)-b(a-b)/b(a+b)=a²+ab-ab+b²/b(a+b)=a²+b²/b(a+b)

Упрощаем знаменатель (общий знаменатель a(a+b)):

b/a+a-b/a+b=b(a+b)+a(a-b)/a(a+b)=ab+b²+a²-ab/a(a+b)=a²+b²/a(a+b)

Делим числитель на знаменатель:

a²+b²/b(a+b)/a²+b²/a(a+b)=a²+b²/b(a+b)·a(a+b)/a²+b²

Сокращаем общие множители (a²+b²) и (a+b):

1/b·a=a/b

Проверка:

Для пункта а) возьмем простые числа: пусть a=2,b=3. Тогда x=6/5=1.2. Исходное выражение: 1.2-2/1.2-3=-0.8/-1.8=8/18=4/9. Ответ по формуле: a²/b²=4/9. Совпадает.

Для пункта б) возьмем a=2,b=3. Тогда x=2-3/2+3=-1/5=-0.2. Числитель: 2/3-(-0.2)=2/3+1/5=10+3/15=13/15. Знаменатель: 3/2+(-0.2)=1.5-0.2=1.3=13/10. Результат: 13/15/13/10=13/15·10/13=10/15=2/3. Ответ по формуле: a/b=2/3. Совпадает.

Ответ

а) a²/b²

б) a/b

Задача требует аккуратной работы с алгебраическими дробями. В пункте а) важно не потерять знак минус при раскрытии скобок в числителе и знаменателе, хотя он в итоге сокращается. В пункте б) ключевым моментом является приведение к общему знаменателю внутри сложной дроби. Ошибка часто возникает при перепутывании местами a и b или знаков при сложении/вычитании дробей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 168 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 168?

Краткий ответ: а) a^2b^2; б) ab.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.