ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 220: дроби
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Выполните сокращение
а) (b14-/b7 + 1)
б) (x33-1)/(x33+x22 + x11)
в) (x(y - z) - y(x - z)) / (x(y - z)^2 - y(x - z)^2); г) (a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2) / (a(b + 1) - b(a + 1)).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании нам нужно сократить алгебраические дроби. Основной приём здесь — разложение числителя и знаменателя на множители с использованием формул сокращённого умножения или группировки слагаемых.
а) Сократим дробь b14-b7+1/b21+1
Заметим, что в знаменателе стоит сумма кубов: b21+1=(b7)3+13. Применим формулу a3+c3=(a+c)(a2-ac+c2):
b21+1=(b7+1)((b7)2-b7·1+12)=(b7+1)(b14-b7+1)
Теперь подставим это в исходную дробь:
b14-b7+1/(b7+1)(b14-b7+1)
Сокращаем общий множитель (b14-b7+1):
1/b7+1
б) Сократим дробь x33-1/x33+x22+x11
Вынесем общий множитель x11 в знаменателе:
x33+x22+x11=x11(x22+x11+1)
Числитель x33-1 можно представить как разность кубов: (x11)3-13. Используем формулу a3-c3=(a-c)(a2+ac+c2):
x33-1=(x11-1)(x22+x11+1)
Подставляем в дробь:
(x11-1)(x22+x11+1)/x11(x22+x11+1)
Сокращаем общий множитель (x22+x11+1):
x11-1/x11
Эту дробь можно также записать как 1-1/x11, но форма x11-1/x11 является стандартным результатом сокращения.
в) Сократим дробь x(y-z)-y(x-z)/x(y-z)2-y(x-z)2
Сначала упростим числитель, раскрыв скобки:
x(y-z)-y(x-z)=xy-xz-yx+yz=yz-xz=z(y-x)
Теперь займёмся знаменателем. Раскроем квадраты:
x(y2-2yz+z2)-y(x2-2xz+z2)=xy2-2xyz+xz2-yx2+2xyz-yz2
Слагаемые -2xyz и +2xyz взаимно уничтожаются:
xy2+xz2-yx2-yz2
Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей:
(xy2-yx2)+(xz2-yz2)=xy(y-x)+z2(x-y)
Заметим, что x-y=-(y-x). Тогда:
xy(y-x)-z2(y-x)=(y-x)(xy-z2)
Или, чтобы согласовать со знаком в числителе (z(y-x)), запишем знаменатель как:
-(x-y)(xy-z2)=(x-y)(z2-xy)
Давайте перепишем числитель тоже через (x-y): z(y-x)=-z(x-y).
Дробь принимает вид:
-z(x-y)/(x-y)(z2-xy)
Сокращаем (x-y):
-z/z2-xy=z/xy-z2
г) Сократим дробь a(b+1)2-b(a+1)2/a(b+1)-b(a+1)
Упростим знаменатель:
a(b+1)-b(a+1)=ab+a-ba-b=a-b
Упростим числитель, раскрыв скобки:
a(b2+2b+1)-b(a2+2a+1)=ab2+2ab+a-ba2-2ba-b
Слагаемые 2ab и -2ba сокращаются:
ab2+a-a2b-b
Сгруппируем:
(ab2-a2b)+(a-b)=ab(b-a)+(a-b)
Так как b-a=-(a-b), то:
-ab(a-b)+1(a-b)=(a-b)(1-ab)
Подставляем в дробь:
(a-b)(1-ab)/a-b
Сокращаем (a-b):
1-ab
а) 1/b7+1
б) x11-1/x11
в) z/xy-z2
г) 1-ab
Для пунктов а) и б) ключевым было распознавание структуры суммы/разности кубов после замены переменной (например, t=b7). В пункте в) важно аккуратно раскрыть скобки и сгруппировать члены, обращая внимание на знаки при переходе от (y-x) к (x-y). В пункте г) знаменатель упрощается до линейного выражения, а числитель требует группировки.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 220 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 220?
Краткий ответ: а) 1b^7+1; б) x^11-1x^11; в) zxy-z^2; г) 1-ab.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе I.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.