8 класс дроби Дополнительные упражнения к главе I

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 221: дроби

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 220 222 →

Условие

Докажите, что если в дроби (x²-2y²)/(3y²+5xy) переменные x и y заменить соответственно на kx и ky, где k≠0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы доказать тождественное равенство дробей после замены переменных, необходимо выполнить следующие шаги:

Записать исходную дробь.
Произвести замену x на kx и y на ky в числителе и знаменателе.
Упростить полученное выражение, вынеся общий множитель за скобки.
Сократить дробь и сравнить результат с исходной дробью.

Вычисление:

Исходная дробь имеет вид:

x²-2y²/3y²+5xy

Заменим переменные x на kx, а y на ky. Подставим эти значения в числитель и знаменатель новой дроби.

Числитель новой дроби:

(kx)²-2(ky)²=k^2x²-2k^2y²

Знаменатель новой дроби:

3(ky)²+5(kx)(ky)=3k^2y²+5k^2xy

Таким образом, новая дробь выглядит так:

k^2x²-2k^2y²/3k^2y²+5k^2xy

В числителе и знаменателе можно вынести общий множитель k² за скобки:

k²(x²-2y²)/k²(3y²+5xy)

По условию задачи k≠0, следовательно, k²≠0. Мы можем сократить дробь на k²:

x²-2y²/3y²+5xy

Проверка и вывод:

После упрощения мы получили выражение, которое полностью совпадает с исходной дробью. Это означает, что значение дроби не изменилось при замене переменных x и y на kx и ky.

Дробь является однородной по степени: и числитель, и знаменатель представляют собой многочлены второй степени относительно переменных x и y. При умножении всех переменных на константу k, каждый член умножается на k², что позволяет сократить этот множитель.

Следовательно, утверждение доказано: полученная дробь тождественно равна первоначальной.

Ответ

Доказано: после подстановки и сокращения на k² дробь принимает первоначальный вид.

Задача демонстрирует свойство однородных дробей. Важно подчеркнуть условие k≠0, так как деление на ноль невозможно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 221 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 221?

Краткий ответ: Доказано: после подстановки и сокращения на k^2 дробь принимает первоначальный вид.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе I.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.