8 класс уравнения Дополнительные упражнения к главе I

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 223: уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 222 224 →

Условие

Докажите, что если a/b=b/c=c/a, то a=b=c.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Дано равенство трёх дробей: a/b=b/c=c/a. Нам нужно доказать, что это возможно только тогда, когда все три числа равны между собой, то есть a=b=c. Для этого воспользуемся свойством пропорций и алгебраическими преобразованиями. Предположим, что знаменатели не равны нулю (так как деление на ноль невозможно).

Вычисление и доказательство.

Обозначим общее значение этих дробей через k:

a/b=k, b/c=k, c/a=k

Из первого равенства следует, что a=bk. Из второго — b=ck. Подставим выражение для b в первое равенство:

a=(ck)·k=ck²

Теперь подставим найденное выражение для a в третье равенство (c/a=k):

c/ck²=k

Сократим c (при условии c≠0):

1/k²=k

Умножим обе части на k²:

1=k³

Единственным действительным корнем уравнения k³=1 является k=1.

Если k=1, то вернёмся к исходным соотношениям:

a/b=1⇒a=b
b/c=1⇒b=c
c/a=1⇒c=a

Таким образом, мы получили цепочку равенств a=b=c.

Проверка.

Подставим a=b=c в исходное условие. Пусть a=b=c=x, где x≠0. Тогда:

x/x=1, x/x=1, x/x=1

Все дроби равны единице, значит, условие a/b=b/c=c/a выполняется. Доказательство завершено.

Ответ

Доказано: при выполнении условия a=b=c.

Использован метод введения параметра k. Важно отметить, что переменные не могут быть нулями, так как они стоят в знаменателях.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 223 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 223?

Краткий ответ: Доказано: при выполнении условия a=b=c.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе I.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.