ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 226: дроби

План решения:

1. Запишем условие несократимости дроби a/b через взаимную простоту числителя и знаменателя. 2. Выразим дробь, дополняющую a/b до единицы. 3. Докажем методом от противного, что полученная дробь также является несократимой.

Вычисление и доказательство:

По условию правильная обыкновенная дробь a/b несократима. Это означает, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице: (a,b)=1. Также так как дробь правильная, то 0<a<b.

Дробь, дополняющая a/b до единицы, равна разности 1-a/b. Приведём к общему знаменателю:

Обозначим новую дробь как x/y, где x=b-a, а y=b. Нам нужно доказать, что эта дробь несократима, то есть что (b-a,b)=1.

Предположим обратное: пусть дробь b-a/b сократима. Тогда существует натуральное число d>1, которое является общим делителем числителя и знаменателя этой новой дроби. То есть:

• d делит b (так как d — делитель знаменателя y=b);
• d делит b-a (так как d — делитель числителя x=b-a).

Из свойств делимости следует, что если число d делит два числа b и b-a, то оно делит их разность. Найдём эту разность:

Значит, d делит a. Таким образом, мы получили, что число d>1 делит одновременно и a, и b. Но это противоречит исходному условию о том, что дробь a/b несократима (то есть (a,b)=1). У двух взаимно простых чисел не может быть общих делителей, больших единицы.

Проверка и вывод:

Так как предположение о существовании общего делителя d>1 для дроби b-a/b привело к противоречию, значит, такого делителя не существует. Следовательно, наибольший общий делитель (b-a,b) равен 1.

Мы доказали, что если a/b несократима, то и дробь b-a/b несократима.