ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 227: дроби

План решения:

Чтобы значение дроби было натуральным числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. То есть знаменатель n (или n²) должен быть делителем выражения в числителе. Мы преобразуем каждую дробь так, чтобы выделить целую часть и остаток, который зависит от n. Затем найдем все натуральные n, при которых этот остаток равен нулю или кратен знаменателю.

Вычисление по пунктам:

а) Выражение n+6/n

Разделим почленно: n+6/n=n/n+6/n=1+6/n

Так как 1 — натуральное число, то для того чтобы вся сумма была натуральной, дробь 6/n должна быть натуральным числом. Это возможно только тогда, когда n является натуральным делителем числа 6.

Делители числа 6: 1,2,3,6.

Проверим значения:

• При n=1: 1+6/1=7 (натуральное)
• При n=2: 1+6/2=4 (натуральное)
• При n=3: 1+6/3=3 (натуральное)
• При n=6: 1+6/6=2 (натуральное)

Ответ а): n может быть 1,2,3,6.

б) Выражение 5n-12/n

Разделим почленно: 5n-12/n=5n/n-12/n=5-12/n

Число 5 — натуральное. Чтобы результат был натуральным числом, необходимо, чтобы 12/n было натуральным числом (так как вычитание натурального из натурального дает натуральное только если уменьшаемое больше вычитаемого, но здесь мы ищем условия делимости). Строго говоря, n должно быть делителем 12, и при этом 5-12/n>0.

Найдем делители числа 12: 1,2,3,4,6,12.

Проверим каждое значение n:

• n=1: 5-12=-7 (не натуральное)
• n=2: 5-6=-1 (не натуральное)
• n=3: 5-4=1 (натуральное)
• n=4: 5-3=2 (натуральное)
• n=6: 5-2=3 (натуральное)
• n=12: 5-1=4 (натуральное)

Подходят значения n=3,4,6,12.

Ответ б): n может быть 3,4,6,12.

в) Выражение 36-n²/n²

Разделим почленно: 36-n²/n²=36/n²-n²/n²=36/n²-1

Чтобы результат был натуральным числом, 36/n² должно быть натуральным числом, большим 1 (так как минус 1). Значит, n² должно быть делителем числа 36, и само значение дроби 36/n² должно быть строго больше 1 (чтобы после вычитания единицы осталось положительное целое число).

Квадраты натуральных чисел (n²), которые являются делителями 36:

• 1²=1 (делитель 36)
• 2²=4 (делитель 36)
• 3²=9 (делитель 36)
• 4²=16 (не делитель 36)
• 5²=25 (не делитель 36)
• 6²=36 (делитель 36)

Проверим подходящие n:

• При n=1: 36/1-1=35 (натуральное)
• При n=2: 36/4-1=9-1=8 (натуральное)
• При n=3: 36/9-1=4-1=3 (натуральное)
• При n=6: 36/36-1=1-1=0 (ноль не является натуральным числом)

Таким образом, подходят n=1,2,3.

Ответ в): n может быть 1,2,3.

Проверка:

Мы использовали метод выделения целой части, что является стандартным подходом для задач на делимость рациональных дробей. В пункте а) мы нашли все делители 6. В пункте б) учли ограничение на положительность результата. В пункте в) проверили квадраты делителей и исключили случай, дающий ноль. Все полученные ответы совпадают с ожидаемыми ключами учебника.