ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 250: К параграфу 3
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите тождество Эйлера: a3+b3 + (b(2a3+b/^{3})}{(a^{3}-b^{3})})3=(a(a3+2b/^{3})}{(a^{3}-b^{3})})3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Нам нужно доказать тождество Эйлера. Для этого упростим левую часть равенства (ЛЧ), приведя слагаемые к общему знаменателю и выполнив алгебраические преобразования. Затем сравним полученное выражение с правой частью (ПЧ). Обозначим для удобства x=a3 и y=b3, чтобы не перегружать запись степенями.
Вычисление.
- Запишем исходное уравнение в более компактном виде, используя подстановку a3=x,b3=y. Тогда b(2a3+b3)=b(2x+y) и (b(2a3+b3))3=b3(2x+y)3=y(2x+y)3. Аналогично для второго слагаемого ПЧ: (a(a3+2b3))3=x(x+2y)3. Знаменатель обеих дробей: (a3-b3)3=(x-y)3.
Уравнение принимает вид: x+y+y(2x+y)3/(x-y)3=x(x+2y)3/(x-y)3 - Перенесём все слагаемые в одну сторону или умножим всё на общий знаменатель (x-y)3 (при условии x≠y): (x+y)(x-y)3+y(2x+y)3=x(x+2y)3
- Раскроем скобки. Сначала разложим (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3.
Тогда первое слагаемое ЛЧ: (x+y)(x3-3x2y+3xy2-y3)=x4-3x3y+3x2y2-xy3+x3y-3x2y2+3xy3-y4
Сгруппируем подобные члены: x4-2x3y+0x2y2+2xy3-y4 - Теперь раскроем второе слагаемое ЛЧ: y(2x+y)3. Известно, что (2x+y)3=8x3+12x2y+6xy2+y3.
Умножаем на y: 8x3y+12x2y2+6xy3+y4 - Сложим результаты из пунктов 3 и 4 (полная ЛЧ после умножения на знаменатель):
(x4-2x3y+2xy3-y4)+(8x3y+12x2y2+6xy3+y4)
Группируем по степеням: - x4: 1 - x3y: -2+8=6 - x2y2: 12 - xy3: 2+6=8 - y4: -1+1=0
Итого ЛЧ равна: x4+6x3y+12x2y2+8xy3. - Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): x(x+2y)3.
Раскроем куб суммы: (x+2y)3=x3+3x2(2y)+3x(2y)2+(2y)3=x3+6x2y+12xy2+8y3.
Умножаем на x: x(x3+6x2y+12xy2+8y3)=x4+6x3y+12x2y2+8xy3
Проверка.
Мы получили, что после приведения к общему знаменателю числитель левой части равен x4+6x3y+12x2y2+8xy3, а числитель правой части также равен x4+6x3y+12x2y2+8xy3. Выражения идентичны. Следовательно, тождество доказано.
Тождество доказано.
В решении использована замена переменных x=a3,y=b3 для упрощения записи. Ключевой момент — аккуратное раскрытие кубов и приведение подобных слагаемых при умножении на общий знаменатель.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 250 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 250?
Краткий ответ: Тождество доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: К параграфу 3.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.