ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 251: К параграфу 3
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что значение выражения (/3/2 a 2-2ab+2/3 b 2)1/4 a 2-1/9 b 2) + 6b/(3/4 a +1/2 b ) не зависит от переменных a и b при всех допустимых значениях.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных a и b, необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Мы будем действовать пошагово: сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, затем выполним деление (сокращение), после чего приведём полученный результат ко второй части выражения и сложим их. Если в итоге получится число, то утверждение доказано.
Вычисление:
Рассмотрим первую дробь: 3/2a2-2ab+2/3b2/1/4a2-1/9b2
Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель 1/6 за скобки или умножим всё на 6 для удобства работы с целыми коэффициентами внутри скобок. Заметим, что 3/2a2-2ab+2/3b2=1/6(9a2-12ab+4b2). Выражение в скобках является полным квадратом: (3a-2b)2. Таким образом, числитель равен 1/6(3a-2b)2.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: 1/4a2-1/9b2=(1/2a-1/3b)(1/2a+1/3b). Чтобы привести к общему виду с числителем, вынесем 1/6 из каждого множителя: 1/2a-1/3b=1/6(3a-2b) и 1/2a+1/3b=1/6(3a+2b). Тогда знаменатель равен 1/36(3a-2b)(3a+2b).
Подставим разложения обратно в дробь:
1/6(3a-2b)2/1/36(3a-2b)(3a+2b)=1/6/1/36·(3a-2b)2/(3a-2b)(3a+2b)=6·3a-2b/3a+2bТеперь рассмотрим вторую часть исходного выражения: 6b/3/4a+1/2b Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4, чтобы избавиться от дробей в знаменателе:
6b·4/(3/4a+1/2b)·4=24b/3a+2bСложим упрощённую первую дробь и вторую дробь. У них одинаковые знаменатели (3a+2b):
6·3a-2b/3a+2b+24b/3a+2b=6(3a-2b)+24b/3a+2bРаскроем скобки в числителе:
18a-12b+24b/3a+2b=18a+12b/3a+2bВынесем общий множитель 6 в числителе:
6(3a+2b)/3a+2bПри допустимых значениях переменных (3a+2b≠0) сокращаем дробь:
6Проверка:
Мы получили постоянное число 6, которое не содержит переменных a и b. Это означает, что при любых допустимых значениях a и b (где знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль) значение всего выражения будет равняться 6. Следовательно, значение выражения действительно не зависит от переменных a и b. Доказательство завершено.
6
В решении использованы методы разложения многочленов на множители (полный квадрат, разность квадратов) и приведение дробей к общему знаменателю. Важно отметить область допустимых значений: знаменатели исходных дробей не должны быть равны нулю.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 251 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 251?
Краткий ответ: 6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: К параграфу 3.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.