8 класс дроби Глава I. Рациональные дроби

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 256: дроби

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 255 257 →

Условие

Доказать равенство 1/(z-a) + 1/(z-b) = 1/a+1/b при условии, что z является средним гармоническим положительных чисел a и b (a ≠ b).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства равенства необходимо использовать определение среднего гармонического числа. Если z является средним гармоническим чисел a и b, то выполняется соотношение: 2/z=1/a+1/b или, что эквивалентно, z=2ab/a+b.

Наша задача — подставить это выражение для z в левую часть доказываемого равенства 1/z-a+1/z-b и показать, что после упрощения мы получим правую часть 1/a+1/b.

Вычисление.

Сначала выразим знаменатели дробей левой части через a и b. Подставим z=2ab/a+b:

Рассмотрим первый знаменатель z-a: z-a=2ab/a+b-a=2ab-a(a+b)/a+b=2ab-a²-ab/a+b=ab-a²/a+b=a(b-a)/a+b. Тогда первая дробь равна: 1/z-a=a+b/a(b-a).
Рассмотрим второй знаменатель z-b: z-b=2ab/a+b-b=2ab-b(a+b)/a+b=2ab-ab-b²/a+b=ab-b²/a+b=b(a-b)/a+b. Тогда вторая дробь равна: 1/z-b=a+b/b(a-b).

Теперь сложим полученные дроби. Заметим, что b-a=-(a-b). Приведем к общему знаменателю ab(a-b):

1/z-a+1/z-b=a+b/a(b-a)+a+b/b(a-b)=-(a+b)/a(a-b)+a+b/b(a-b). =-(a+b)b+(a+b)a/ab(a-b)=(a+b)(a-b)/ab(a-b).

Так как по условию a≠b, то a-b≠0, и мы можем сократить на (a-b):

a+b/ab=a/ab+b/ab=1/b+1/a.

Мы получили правую часть исходного равенства.

Проверка.

Возьмем конкретные числа для проверки. Пусть a=2,b=4. Тогда среднее гармоническое z=2·2·4/2+4=16/6=8/3. Левая часть: 1/8/3-2+1/8/3-4=1/2/3+1/-4/3=3/2-3/4=6-3/4=3/4. Правая часть: 1/2+1/4=2+1/4=3/4. Равенство верно. Доказательство завершено.

Ответ

Доказано

Использовано определение среднего гармонического числа. Алгебраические преобразования включают приведение к общему знаменателю и сокращение множителя (a-b), который не равен нулю по условию.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 256 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 256?

Краткий ответ: Доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.