ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 266: система уравнений

Чтобы определить количество точек пересечения графиков функций y=k/x и y=ax+b, нужно решить систему уравнений. Подставим выражение для y из второго уравнения в первое или приравняем правые части:

Умножим обе части на x (при условии x≠0), чтобы избавиться от знаменателя:

Мы получили квадратное уравнение относительно x. Количество корней этого уравнения зависит от дискриминанта D=b²-4a(-k)=b²+4ak. Каждый корень x соответствует одной точке пересечения.

а) Только в одной точке

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю (D=0) и старший коэффициент не равен нулю (a≠0).

Так как k≠0, мы можем подобрать такие a и b, что это условие выполнится. Например, пусть k=1,a=-1,b=2. Тогда уравнение будет -x²+2x-1=0, то есть (x-1)²=0, откуда x=1. Это единственный корень. Значит, графики могут пересекаться только в одной точке.

б) Только в двух точках

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля (D>0) и a≠0.

Это возможно при многих значениях параметров. Например, пусть k=1,a=1,b=0. Уравнение примет вид x²-1=0, корни x₁=1,x₂=-1. Оба корня не равны нулю, значит, они допустимы. Графики пересекаются в двух точках (1;1) и (-1;-1).

в) В трёх точках

Алгебраическое уравнение ax²+bx-k=0 является квадратным (если a≠0) или линейным (если a=0). Квадратное уравнение может иметь максимум два корня. Если a=0, то уравнение становится линейным bx-k=0, которое имеет максимум один корень (при b≠0). Таким образом, система не может иметь более двух решений. Следовательно, пересечение в трёх точках невозможно.