ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 267: система уравнений

План решения.

Чтобы определить количество точек пересечения и их расположение, нужно решить систему уравнений: {y=k/xy=ax+b Подставив выражение для y из первого уравнения во второе, получим квадратное уравнение относительно x: ax²+bx-k=0.
Количество корней этого уравнения зависит от дискриминанта D=b²+4ak. Если D>0, то график прямой пересекает гиперболу в двух точках. Расположение этих точек по четвертям определяется знаками координат (x_1,y₁) и (x_2,y₂). Так как y_i=k/x_i, то знак y_i совпадает со знаком k/x_i. Значит, если k>0, ветви гиперболы находятся в I и III четвертях (где x и y одного знака). Если k<0, ветви находятся во II и IV четвертях (где x и y разных знаков).

Вычисление и анализ случаев.

• а) В одной четверти.
  Для того чтобы две точки пересечения лежали в одной четверти, они должны принадлежать одной ветви гиперболы. Это возможно только если прямая «прорезает» одну ветвь дважды. Геометрически это реализуется, когда наклон прямой a и параметр гиперболы k имеют разные знаки (ak<0), что обеспечивает положительный дискриминант D=b²+4ak при достаточно малом |b| или подходящем b. Например, пусть k=1 (гипербола в I и III четв.), a=-1,b=3. Уравнение: -x²+3x-1=0⇒x²-3x+1=0. Корни x_1,2=3±5/2 оба положительны. Тогда y_1,y₂ тоже положительны. Обе точки в I четверти.
  Ответ: Да, могут.
• б) В первой и второй четвертях.
  Точки в I четверти имеют x>0,y>0. Точки во II четверти имеют x<0,y>0.
  Если точка лежит на гиперболе y=k/x, то произведение xy=k.
  Для точки в I четверти: x₁y₁=k>0.
  Для точки во II четверти: x₂y₂=k. Но так как x₂<0 и y₂>0, то произведение x₂y₂<0.
  Получаем противоречие: k не может быть одновременно больше нуля и меньше нуля. Следовательно, одна ветвь гиперболы не может содержать точки с разными знаками абсциссы при фиксированном знаке ординаты, соответствующем разным четвертям для одного и того же k. Гипербола либо целиком в I/III (k>0), либо во II/IV (k<0). Прямая может пересечь обе ветви, но тогда точки будут в противоположных четвертях (I и III или II и IV). Пересечение именно в I и II невозможно, так как это потребовало бы наличия точек с y>0 на обеих ветвях, а у гиперболы y сохраняет знак внутри каждой ветви, но ветви разнесены по четвертям.
  Ответ: Нет, не могут.
• в) В первой и третьей четвертях.
  Это классический случай пересечения прямой с двумя ветвями гиперболы, расположенной в I и III четвертях (k>0).
  Пусть k=1. Уравнение ax²+bx-1=0. Дискриминант D=b²+4a. Если выбрать a>0, то D>0 всегда. Корни x_1,x₂ имеют разные знаки, так как их произведение x₁x₂=-1/a<0. Пусть x₁>0, тогда y₁=1/x₁>0 (I четверть). Пусть x₂<0, тогда y₂=1/x₂<0 (III четверть).
  Пример: y=1/x и y=x. Точки пересечения (1,1) и (-1,-1). Одна в I, другая в III.
  Ответ: Да, могут.

Проверка и итоговый вывод.

Мы проанализировали свойства функции обратной пропорциональности. Ключевой момент: все точки графика y=k/x удовлетворяют условию xy=k. Знак произведения координат постоянен для всей кривой.
В пункте (а) мы показали пример, где обе точки имеют одинаковые знаки координат (например, обе в I четверти), что допустимо.
В пункте (б) требуется наличие точек с y>0 и x>0 (I четв.) и y>0 и x<0 (II четв.). Для первой точки k>0, для второй k<0. Противоречие подтверждает невозможность.
В пункте (в) требуются точки с x,y одного знака (I четв., k>0) и x,y одного знака (III четв., k>0). Здесь k согласован. Пример с y=x и y=1/x работает идеально.
Таким образом, ответы логически непротиворечивы и проверены через алгебраические условия существования корней квадратного уравнения.