ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 283: Арифметический квадратный корень

План решения:

Чтобы определить тип числа a+b, сначала проанализируем структуру чисел a и b. Оба числа являются бесконечными десятичными дробями с непериодическим характером записи (так как длина групп цифр постоянно увеличивается). Следовательно, каждое из них в отдельности является иррациональным числом. Однако сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной. Нам нужно сложить эти дроби по разрядам и посмотреть, получится ли периодическая или конечная дробь.

Вычисление:

Запишем первые цифры чисел a и b, чтобы увидеть закономерность их суммы. Число a=1,323223222... Число b=2,313113111... Сложим их поразрядно: a+b=1,323223222...+2,313113111... Рассмотрим целую часть: 1+2=3. Теперь рассмотрим дробную часть по группам, как они заданы в условии: 1. Первая группа после запятой у a: 32, у b: 31. Сумма: 32+31=63? Нет, складываем не группы целиком, а цифры по позициям. Давайте выпишем цифры по порядку: a: 1, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2,… b: 2, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1,… Складываем соответствующие цифры: - Целые: 1+2=3. - 1-й знак после запятой: 3+3=6. - 2-й знак: 2+1=3. - 3-й знак: 3+3=6. - 4-й знак: 2+1=3. - 5-й знак: 2+1=3. - 6-й знак: 3+3=6. - 7-й знак: 2+1=3. - 8-й знак: 2+1=3. - 9-й знак: 2+1=3. Получаем последовательность цифр для суммы: 3,636336333... Проверим структуру получившейся дроби. В числе a тройки стоят на позициях 1, 3, 6, 10... (треугольные числа), а между ними идут двойки. В числе b тройки стоят на тех же позициях, а между ними идут единицы. При сложении: - Там, где в обоих числах стоит тройка (3+3), получается 6. - Там, где в a стоит двойка, а в b единица (2+1), получается 3. Таким образом, структура суммы повторяет структуру исходных чисел: мы имеем чередование цифр 6 и 3. При этом количество цифр 3 подряд между шестерками будет увеличиваться так же, как количество двоек/единиц в исходных числах. В первом блоке одна двойка и одна единица -> одна тройка в сумме. Во втором блоке две двойки и две единицы -> две тройки в сумме. В третьем блоке три двойки и три единицы -> три тройки в сумме. И так далее. Полученное число имеет вид 3,63633633363333... Это бесконечная непериодическая десятичная дробь, так как длина групп цифр 3 постоянно возрастает и не образует повторяющегося периода.

Проверка и вывод:

Рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Наше число a+b является бесконечной непериодической дробью. Следовательно, оно не может быть рациональным.

Ответ: иррациональное число.