ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 285: Арифметический квадратный корень

Рассмотрим каждое выражение по отдельности, применяя правила действий с алгебраическими дробями: приведение к общему знаменателю, разложение на множители и сокращение.

а) Упростим выражение (1-3x²/1-x²):(x/x+1+1).

1. Преобразуем первую скобку. Общий знаменатель равен 1-x².
   1-3x²/1-x²=1-x²-3x²/1-x²=1-4x²/1-x².
2. Разложим числитель и знаменатель на множители:
   (1-2x)(1+2x)/(1-x)(1+x).
3. Преобразуем вторую скобку. Общий знаменатель x+1:
   x/x+1+1=x+x+1/x+1=2x+1/x+1.
4. Выполним деление, умножив на обратную дробь:
   (1-2x)(1+2x)/(1-x)(1+x)·x+1/2x+1.
5. Сократим одинаковые множители (1+2x) и (x+1):
   1-2x/1-x.

б) Упростим выражение (a+b/b-a/a+b):(a+b/a-b/a+b).

1. Первая скобка: общий знаменатель b(a+b).
   (a+b)²-ab/b(a+b)=a²+2ab+b²-ab/b(a+b)=a²+ab+b²/b(a+b).
2. Вторая скобка: общий знаменатель a(a+b).
   (a+b)²-ab/a(a+b)=a²+2ab+b²-ab/a(a+b)=a²+ab+b²/a(a+b).
3. Деление:
   a²+ab+b²/b(a+b)·a(a+b)/a²+ab+b².
4. Сокращаем a²+ab+b² и a+b, получаем a/b.

в) Упростим выражение 3a²-a+3/a²-1-a-1/a²+a+1+2/1-a.

1. Заметим, что a²-1=(a-1)(a+1), а 2/1-a=-2/a-1.
2. Приведем к общему знаменателю (a-1)(a+1)(a²+a+1).
3. Числитель первого слагаемого после домножения на (a²+a+1): (3a²-a+3)(a²+a+1).
   Раскроем скобки: 3a⁴+3a³+3a²-a³-a²-a+3a²+3a+3=3a⁴+2a³+5a²+2a+3.
4. Числитель второго слагаемого (со знаком минус): -(a-1)(a-1)(a+1)=-(a-1)²(a+1)=-(a²-2a+1)(a+1)=-(a³+a²-2a²-2a+a+1)=-(a³-a²-a+1)=-a³+a²+a-1.
5. Числитель третьего слагаемого: -2(a+1)(a²+a+1)=-2(a³+a²+a+a²+a+1)=-2(a³+2a²+2a+1)=-2a³-4a²-4a-2.
6. Суммируем числители:
   (3a⁴+2a³+5a²+2a+3)+(-a³+a²+a-1)+(-2a³-4a²-4a-2)=3a⁴-a³+2a²-a.
   Это не упрощается красиво до константы или простой дроби без остатка в условии, возможно опечатка в задаче или требуется оставить в виде единой дроби. Однако, проверим альтернативный путь группировки. Часто в таких задачах ответом является простая дробь. Перепроверим вычисления для пункта в).
   Если предположить ошибку в переписывании условия из учебника, то стандартные задачи такого типа часто дают ответ 1/a+1 или подобное. Но строго по тексту: результат 3a⁴-a³+2a²-a/(a-1)(a+1)(a²+a+1).
   Примечание: В школьных сборниках для номера 285 пункт в) часто имеет вид, приводящий к 1/a+1. Проверим, если бы первое слагаемое было 3a²+3/a²-1... Нет, будем считать строго по условию. Результат громоздкий.
   Давайте пересчитаем внимательнее. Может быть, я ошибся в раскрытии?
   3a²(a²+a+1)=3a⁴+3a³+3a².
   -a(a²+a+1)=-a³-a²-a.
   3(a²+a+1)=3a²+3a+3.
   Сумма: 3a⁴+2a³+5a²+2a+3. Верно.
   Второе: -(a-1)²(a+1)=-(a²-2a+1)(a+1)=-(a³-a²-a+1). Верно.
   Третье: -2(a+1)(a²+a+1)=-2(a³+2a²+2a+1). Верно.
   Итог числителя: 3a⁴+(2-1-2)a³+(5+1-4)a²+(2+1-4)a+(3-1-2)=3a⁴-a³+2a²-a.
   Ответ: a(3a³-a²+2a-1)/a⁴-1 (так как (a-1)(a+1)(a²+a+1) не равно a⁴-1, это (a²-1)(a²+a+1)). Знаменатель: a⁴+a³-a-1.
   Оставим как единую дробь.

г) Упростим выражение (2b/1-b-b):3b+3/b-1.

1. Первая скобка: общий знаменатель 1-b.
   2b-b(1-b)/1-b=2b-b+b²/1-b=b²+b/1-b=b(b+1)/1-b.
2. Вторая часть: 3(b+1)/b-1=-3(b+1)/1-b.
3. Деление:
   b(b+1)/1-b·1-b/-3(b+1).
4. Сокращаем b+1 и 1-b: остаётся b/-3=-b/3.

д) Упростим выражение (a-x+x²/a+x)·a-x/a.

1. Скобка: общий знаменатель a+x.
   (a-x)(a+x)+x²/a+x=a²-x²+x²/a+x=a²/a+x.
2. Умножение:
   a²/a+x·a-x/a=a(a-x)/a+x.