ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 284: Арифметический квадратный корень

План решения:

• Используем тождество (a+b)²=(a-b)²+4ab. Нам нужно определить рациональность a+b.
• Известно, что a² и b² — рациональные числа. Это означает, что a и b либо оба рациональны, либо оба иррациональны (так как квадрат иррационального числа может быть рациональным, например, (2)²=2).
• Рассмотрим два случая: когда a и b рациональны, и когда они иррациональны.

Вычисление и рассуждения:

1. Случай 1: a и b — рациональные числа.
   Если a∈Q и b∈Q, то их сумма a+b также является рациональным числом (Q замкнуто относительно сложения). В этом случае ответ: рациональное .
2. Случай 2: a и b — иррациональные числа.
   Так как a²∈Q и b²∈Q, то a=±x и b=±y для некоторых рациональных x,y>0, не являющихся квадратами рациональных чисел.
   Нам дано, что a-b∈Q. Обозначим a-b=q, где q∈Q.
   Тогда a=b+q. Подставим это в выражение для a²: a²=(b+q)²=b²+2bq+q²
   Отсюда выразим 2bq: 2bq=a²-b²-q²
   Правая часть состоит из разности рациональных чисел (a²,b²,q²∈Q), значит, правая часть рациональна. Следовательно, произведение 2bq рационально.
   Здесь возможны два подслучая:
   а) Если q≠0 (то есть a≠b, что дано по условию), то b=a²-b²-q²/2q. Так как числитель и знаменатель рациональны и знаменатель не равен нулю, то b должно быть рациональным числом. Но мы предположили, что b иррационально. Противоречие. Значит, этот случай невозможен при условии, что a и b иррациональны и a≠b.
   б) Если q=0, то a=b, но по условию a≠b. Этот случай отпадает.
   Вывод по случаю 2: Предположение о том, что a и b иррациональны, приводит к противоречию с условием a-b∈Q и a≠b, если только a и b не являются «сопряженными» иррациональными числами вида k±m? Нет, давайте проверим пример.
   Пусть a=1+2, b=1-2. Тогда a²=3+22 (иррационально). Не подходит, так как по условию a² рационально.
   Пусть a=2, b=8=22. a²=2∈Q, b²=8∈Q. a-b=-2∉Q. Не подходит.
   Пусть a=2, b=-2. a²=2,b²=2. a-b=22∉Q. Не подходит.
   Может ли существовать пара иррациональных чисел с рациональными квадратами и рациональной разностью?
   Если a²∈Q и b²∈Q, то a=±k, b=±m (k,m∈Q).
   a-b∈Qimplies±k∓m=q∈Q.
   Это возможно только если k/m является квадратом рационального числа (тогда a и b линейно зависимы над
   arQ?) или если одно из них рационально.
   Если a и b иррациональны, то
   arQ(k,m) имеет степень расширения 2 или 4. Разность
   arQ-линейной комбинации корней может быть рациональной только если коэффициенты при иррациональных частях сокращаются.
   Рассмотрим a=2,b=2. a-b=0∈Q, но a=b, запрещено.
   Рассмотрим a=2,b=-2. a-b=22∉Q.
   Рассмотрим a=2,b=8. a-b=2-22=-2∉Q.
   Общий вывод: Если a²,b²∈Q и a,b∉Q, то a-b∈Q тогда и только тогда, когда a=b (что запрещено) или когда a и b таковы, что их иррациональные части совпадают и сокращаются? Но у простых квадратных корней нет «совпадающих частей», кроме самого корня. Если a=ck и b=dk, то a-b=(c-d)k. Чтобы это было рациональным при k∉Q, необходимо c=d, т.е. a=b. Или c-d=0. То есть при a≠b разность будет иррациональной.
   Следовательно, случай, когда a и b оба иррациональны, невозможен при заданных условиях (a²,b²∈Q,a-b∈Q,a≠b).

Проверка и итог:

Мы показали, что если a и b иррациональны, то условия задачи невыполнимы (при a≠b). Значит, единственно возможный вариант — a и b рациональны. Сумма двух рациональных чисел всегда рациональна.