ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 468: производная

План решения:

Для каждого пункта построим графики двух функций: левой и правой части уравнения. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. Будем менять параметр b, что соответствует вертикальному сдвигу прямой.

а) Уравнение x=x+b

Рассмотрим функции y₁=x (ветвь параболы в первой четверти) и y₂=x+b (прямая с угловым коэффициентом 1).

• Если b<0, прямая пересекает ось ординат ниже нуля. Так как ветвь y=x начинается из точки (0;0) и растет медленнее прямой при больших x, а при малых x (x>0) значения x больше значений x+b (так как b<0), то пересечений нет. Однако нужно проверить область определения x≥0. При x=0, y₁=0, y₂=b<0. Производная y₁′=1/2x стремится к бесконечности при x→0, поэтому график x сразу уходит выше прямой. Но так как прямая имеет наклон 1, а парабола "выпуклая вверх", они могут пересечься только если прямая проходит достаточно высоко. Давайте решим алгебраически для проверки: x-x=b. Функция f(x)=x-x принимает максимальное значение при x=1/4, равное 1/4-1/4=0? Нет, f(1/4)=1/4-1/4=1/2-1/4=1/4. Значит, множество значений выражения x-x это (-∞;1/4]. Следовательно, уравнение имеет корни только если b≤1/4. Но мы должны учитывать, что x≥0, значит x+b≥0. Если b<0, то x должно быть ≥-b. При b<0 пересечений может не быть или быть два? Посмотрим на графики. Прямая y=x+b. Ветвь y=x. Если b очень отрицательный, прямая далеко внизу. Пересечений нет. Когда прямая касается ветви? Это происходит, когда система x=x+b и производные равны 1/2x=1⇒x=1/4. Тогда y=1/2. Подставим в уравнение прямой: 1/2=1/4+b⇒b=1/4. Это верхняя граница. Что происходит при b<1/4? Если b=0, x=x⇒x=0,x=1. Два корня. Если b становится отрицательным, например b=-1, то x=x-1. x-1≥0⇒x≥1. Квадрат: x=x²-2x+1⇒x²-3x+1=0. Корни 3±5/2. Оба положительны. Нужно проверить условие x≥1. 3+5/2≈2.6>1. 3-5/2≈0.38<1 (не подходит). Значит, один корень. Где переход от двух корней к одному? Когда меньший корень исчезает. Меньший корень исчезает, когда он становится меньше 0? Нет, область определения x≥0. При b=0 корни 0 и 1. При b<0 левый корень (меньший) уходит в отрицательную зону по оси X? Нет, x всегда ≥0. Давайте посмотрим на точку x=0. y₁(0)=0. y₂(0)=b. Если b<0, то в точке x=0 график y₁ выше графика y₂. При увеличении x, y₁ растет быстрее сначала, потом медленнее. Прямая y₂ имеет постоянный наклон 1. Касательная к y₁ с наклоном 1 есть в точке x=1/4. Значит, если прямая лежит ниже касательной (b<1/4), она может пересекать кривую дважды, один раз или ни разу. Но так как y₁ выпуклая вверх, а y₂ линейная, то максимум два пересечения. При b=1/4 одно пересечение (касание). При b<1/4: рассмотрим предельный случай b→-∞. Прямая уходит вниз. Точка пересечения с осью Y у y₁ это 0. У y₂ это b. Если b<0, то в начале координат y₁>y₂. Так как y₁ ограничена сверху относительно разницы? Нет. Разница d(x)=x-x. Максимум 1/4. Минус бесконечность при x→∞. Значит, если b<1/4, уравнение x-x=b имеет решения. Но нужно помнить про ОДЗ исходного уравнения x=x+b. Это требует x+b≥0. Если b отрицательное, то x≥-b. Функция g(x)=x-x убывает при x>1/4. Нам нужно найти пересечения с уровнем b. Если b<0, то уровень b находится ниже нуля. Функция g(x) принимает отрицательные значения при x>1. Ветвь g(x) при x∈[0,1] неотрицательна. Поэтому при b<0 решение возможно только при x>1. На промежутке (1,∞) функция g(x) строго убывает от 0 до -∞. Значит, ровно одно решение. Итого: при b>1/4 — 0 корней; при b=1/4 — 1 корень; при 0≤b<1/4 — 2 корня; при b<0 — 1 корень.

б) Уравнение x=-x+b

Функции: y₁=x и y₂=-x+b (прямая с угловым коэффициентом -1).

• График y₁ расположен в первой четверти, начиная с (0;0).
• Прямая y₂ спускается слева направо.
• При малых b (отрицательных) прямая находится целиком ниже оси абсцисс для x≥0 (так как -x+b<0 при x>b). Но даже если часть прямой над осью, она может не пересекать ветвь. Проверим касание. Система: x=-x+b и производные равны: 1/2x=-1. Это невозможно, так как левая часть положительна, а правая отрицательна. Значит, касания не будет. Графики либо пересекаются, либо нет.
• Так как y₁ возрастает, а y₂ убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке.
• Условие существования корня: x=b-x. Требуется b-x≥0⇒x≤b. Также x≥0. Значит, b должно быть ≥0. Если b<0, то правая часть -x+b отрицательна при всех x≥0, а левая неотрицательна. Корней нет.
• Если b≥0, то при x=0 имеем y₁=0,y₂=b≥0. При x=b имеем y₁=b,y₂=0. Если b>0, то b>0, значит в точке x=b график y₁ выше y₂. А в точке x=0 график y₂ выше или равен y₁. По теореме о промежуточном значении непрерывных функций, между 0 и b обязательно есть точка пересечения. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, пересечение единственное.
• Итого: при b<0 — 0 корней; при b≥0 — 1 корень.

Проверка и вывод:

Алгебраический анализ подтверждает геометрические наблюдения. Для пункта а) ключевой момент — различие поведения при положительных и отрицательных b из-за ограничения x+b≥0. Для пункта б) монотонность функций гарантирует уникальность корня при его существовании.