ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 498: дроби

Для сокращения дробей с иррациональными знаменателями или сложными числителями обычно используют метод раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и разложения на множители. В пункте а) мы сначала упростим числитель, раскрыв квадрат суммы, затем вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе, после чего сократим дробь. В пункте б) аналогично раскроем квадрат в числителе, упростим выражение и попробуем представить его в виде произведения, чтобы сократить с знаменателем.

Решение пункта а)

1. Раскроем скобки в числителе: (210-5)²=(210)²-2·210·5+5²=4·10-2010+25=40-2010+25=65-2010.
2. Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби: 65-2010/4-10.
3. Вынесем общий множитель 5 из числителя: 65-2010=5(13-410).
4. Попробуем разложить выражение в скобках 13-410 на множители вида (a-b10)(c-d10) или просто проверить, делится ли оно на знаменатель 4-10. Умножим знаменатель на 10: 10(4-10)=410-10. Это не похоже на 13-410. Попробуем умножить знаменатель на другое число. Заметим, что 13-410 можно представить как (8-5)²? Нет, это сложно. Давайте проверим деление напрямую или преобразуем числитель иначе.
   Вернемся к исходному виду числителя до возведения в квадрат? Нет, в условии было (210-5) без квадрата? Перечитаю условие внимательно: "а) (210-5)/(4-10)". В условии нет степени! Я ошибочно предположил квадрат из-за типичности задач. Если степень не указана, то числитель просто 210-5.
   Тогда задача сводится к освобождению от иррациональности в знаменателе или поиску общего множителя.
   Числитель: 210-5. Знаменатель: 4-10.
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю (4+10):
   Знаменатель: (4-10)(4+10)=16-10=6.
   Числитель: (210-5)(4+10)=810+2(10)-20-510=810+20-20-510=310.
   Дробь равна 310/6=10/2.

Решение пункта б)

1. Раскроем квадрат в числителе: (10-1)²-3=(10-210+1)-3=11-210-3=8-210.
2. Вынесем общий множитель 2 из числителя: 8-210=2(4-10).
3. Запишем дробь в упрощенном виде: 2(4-10)/10+3-1.
4. Проверим, можно ли сократить с знаменателем. Знаменатель 10+3-1 не содержит множителя 4-10. Однако, давайте перепроверим условие. Возможно, в числителе опечатка в моем прочтении или нужно использовать формулу разности квадратов для всего выражения?
   Если условие именно такое, то дальнейшее сокращение невозможно стандартными школьными методами, так как знаменатель иррационален и не является множителем числителя. Но часто в таких задачах ответ получается простым числом или простой дробью. Проверим, не является ли знаменатель частью формулы.
   Давайте освободимся от иррациональности в знаменателе, если сокращение не очевидно. Это громоздко.
   Пересмотрим пункт а). Там тоже не было квадрата.
   В пункте б) может быть ошибка в условии в источнике? Или я должен оставить ответ в виде 2(4-10)/10+3-1? Обычно "сократите дробь" подразумевает получение более простого вида.
   Попробуем домножить числитель и знаменатель на сопряженное к части знаменателя? Сложно.
   Давайте предположим, что в условии б) числитель был ((10-1)²-9)? Тогда 11-210-9=2-210. Не подходит.
   А если знаменатель был 10+1? Тогда 2(4-10)/10+1.
   Оставим решение как есть, выполнив все возможные алгебраические преобразования. Ответом будет упрощенная дробь.