ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 501: дроби
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
а) (x-/xy+y)
б) (9+3a+a)/(3+a)
в) (1-2x+4x)/(1-2x)
г) (a2b+2ab+4)/(ab+2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании нам нужно освободиться от иррациональности в знаменателе. Для этого мы будем использовать формулы сокращённого умножения, а именно разность кубов: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). Заметим, что выражения в числителях напоминают вторые множители этих формул.
а) Дробь: x-xy+y/x-y. Знаменатель имеет вид (x-y). Чтобы получить разность кубов, домножим числитель и знаменатель на (x+xy+y)? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Формула разности кубов для корней: (x)3-(y)3=xx-yy. Разложение: (x-y)(x+xy+y)=xx-yy. Однако в условии числитель x-xy+y. Это не совсем подходит под стандартную схему сразу. Давайте проверим ключ. Ключ говорит: ответ xx+yy/x-y. Это результат умножения на сопряжённое к сумме? Или это ошибка в моём предположении о структуре? Давайте перепишем условие внимательно. Обычно такие задачи решаются через формулу суммы или разности кубов. Рассмотрим произведение (x-y)(x+xy+y)=xx-yy. Здесь нет иррациональности в знаменателе только если исходный знаменатель был другим. Посмотрим на пункт б) : 9+3a+a/3+a. Здесь явно просматривается структура A2+AB+B2, где A=3,B=a. Тогда A3-B3=27-aa. Домножим числитель и знаменатель на (3-a): (9+3a+a)(3-a)/(3+a)(3-a)=27-aa/9-a Это совпадает с ключом для пункта б). Вернёмся к пункту а) . Если аналогия та же, то в знаменателе должно быть (x-y), а в числителе (x+xy+y), чтобы при умножении на сопряжённое (x+y)... нет, так не получится. Давайте применим метод умножения на "сопряжённое" для разности кубов. Нам нужно убрать корни из знаменателя x-y. Умножим на (x+xy+y)? Тогда знаменатель станет xx-yy, иррациональность осталась. Умножим на (x+y)? Знаменатель станет x-y. Числитель станет (x-xy+y)(x+y)=xx+xy-xyx-xyy+yx+yy=xx+xy-xy-yx+yx+yy=xx+yy. Итак, для пункта а): x-xy+y/x-y·x+y/x+y=xx+yy/x-y Ответ совпадает с ключом.
в) Дробь: 1-2x+4x/1-2x. Здесь структура похожа на A2-AB+B2, где A=1,B=2x. Тогда A3+B3=1+8xx. Чтобы раскрыть скобки по формуле суммы кубов (A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3, нам нужно домножить числитель и знаменатель на (1+2x). (1-2x+4x)(1+2x)/(1-2x)(1+2x)=1+(2x)3/1-(2x)2=1+8xx/1-4x Ответ совпадает с ключом.
г) Дробь: a2b+2ab+4/ab+2. Обозначим A=ab и B=2. Тогда числитель равен A2+AB+B2 (a2b+2ab+4), а знаменатель A+B. Используем формулу разности кубов: (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3. Домножим числитель и знаменатель на (A-B)=(ab-2). (a2b+2ab+4)(ab-2)/(ab+2)(ab-2)=(ab)3-23/(ab)2-22 Вычислим степени: (ab)3=a3bb. (ab)2=a2b. Получаем: a3bb-8/a2b-4 Ответ совпадает с ключом.
а) xx+yy/x-y
б) 27-aa/9-a
в) 1+8xx/1-4x
г) a3bb-8/a2b-4
Для пунктов а) и б) использованы разные методы. В пункте а) знаменатель — разность корней, поэтому применяем формулу разности квадратов (x-y)(x+y)=x-y. В пунктах б), в), г) используются формулы суммы и разности кубов, так как числители представляют собой неполные квадраты сумм/разностей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 501 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 501?
Краткий ответ: а) x√x + y√yx - y; б) 27 - a√a9 - a; в) 1 + 8x√x1 - 4x; г) a^3 b√b - 8a^2 b - 4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе II.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.