ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 504: дроби

Для решения задачи проанализируем выражение x-2/x-2 и определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как под корнем стоит переменная x, то должно выполняться условие x≥0. Также знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x-2≠0, откуда следует x≠2. Таким образом, ОДЗ: x∈[0;2)∪(2;+∞).

Упростим данное выражение. Заметим, что знаменатель можно представить как разность квадратов: x-2=(x)²-(2)²=(x-2)(x+2). Тогда при условии, что x-2≠0 (то есть x≠2), дробь сокращается:

x-2/(x-2)(x+2)=1/x+2

Нам нужно найти такое значение x из области определения, при котором эта упрощенная дробь принимает наибольшее значение. Дробь 1/x+2 будет максимальной тогда, когда её знаменатель минимален. Знаменатель x+2 состоит из суммы двух неотрицательных слагаемых. Он достигает своего наименьшего значения, когда x минимально. Наименьшее возможное значение x при x≥0 равно 0 (при x=0).

Проверим полученный результат. При x=0 исходное выражение имеет вид 0-2/0-2=-2/-2=2/2. Это значение входит в ОДЗ (0≠2). Если мы возьмем любое другое допустимое значение x>0, то x>0, следовательно, знаменатель x+2 станет больше, чем 2, а сама дробь — меньше, чем 1/2=2/2. Например, при x=1 значение дроби равно 1/1+2=2-1≈0.41, что меньше 2/2≈0.71. Следовательно, максимум достигается именно при x=0.