ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 507: корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что значение выражения \sqrt{b+49-14\sqrt{b}} + \sqrt{b+49+14\sqrt{b}} не зависит от b при условии 0≤b≤49.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Чтобы доказать независимость выражения от b, нужно упростить подкоренные выражения. Заметим, что они имеют вид полного квадрата: (x±y)2=x2±2xy+y2. Нам необходимо представить числа под корнями в виде квадратов двучленов, содержащих b и константу.
Вычисление. Рассмотрим первое подкоренное выражение: b+49-14b.
Заметим, что b=(b)2 и 49=72. Средний член -14b можно записать как -2·7·b.
Тогда:
b+49-14b=(b)2-2·7·b+72=(b-7)2
Аналогично для второго подкоренного выражения:
b+49+14b=(b)2+2·7·b+72=(b+7)2
Подставим полученные квадраты обратно в исходное выражение:
(b-7)2+(b+7)2
Используем свойство арифметического квадратного корня x2=|x|:
|b-7|+|b+7|
Проверка и раскрытие модулей. По условию задачи дано ограничение 0≤b≤49.
Извлекая квадратный корень из неравенства, получаем 0≤b≤7.
1) Так как b≤7, то разность b-7≤0. Следовательно, |b-7|=-(b-7)=7-b.
2) Так как b≥0, то сумма b+7>0. Следовательно, |b+7|=b+7.
Складываем полученные значения:
(7-b)+(b+7)=7-b+b+7=14
Результат равен 14 и не содержит переменной b, что доказывает утверждение.
14
Ключевые моменты: распознавание полных квадратов вида (a-b)2 и (a+b)2 внутри корней; обязательное использование модуля при извлечении корня из квадрата (x2=|x|); корректное раскрытие модулей с учетом ОДЗ (0≤b≤7).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 507 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 507?
Краткий ответ: 14.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава II. Квадратные корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.