8 класс дроби Глава II. Квадратные корни

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 503: дроби

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Кирилл Панов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 502 504 →

Условие

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

а) 1/(2+3+1)

б) 1/(5-3+2).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для освобождения от иррациональности в знаменателе вида a+b+c или a-b+c удобно группировать слагаемые так, чтобы применить формулу разности квадратов (x-y)(x+y)=x²-y². Сначала умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к одной паре корней, а затем при необходимости повторим процедуру для оставшейся иррациональности.

а) Дробь 1/2+3+1

Сгруппируем корни: 1/(2+3)+1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к сумме корней: (2+3)-1.
Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов: (2+3+1)(2+3-1)=(2+3)²-1²=(2+26+3)-1=4+26. Числитель станет: 2+3-1.
Получаем дробь 2+3-1/4+26. Вынесем общий множитель 2 из знаменателя: 2+3-1/2(2+6). Теперь освобождаемся от 6 в скобке. Умножим числитель и знаменатель дроби внутри скобки на сопряжённое 2-6:
Новый знаменатель (без учёта внешнего 2): (2+6)(2-6)=4-6=-2. Новый числитель: (2+3-1)(2-6)=22-12+23-18-2+6. Упростим корни: 12=23, 18=32. Числитель: 22-23+23-32-2+6=-2-2+6.
Подставим обратно в общую дробь: -2-2+6/2·(-2)=-(2+2-6)/-4=2+2-6/4.

б) Дробь 1/5-3+2

Сгруппируем как (5-3)+2. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое (5-3)-2.
Знаменатель: ((5-3)+2)((5-3)-2)=(5-3)²-2²=(5-215+3)-4=8-215-4=4-215. Числитель: 5-3-2.
Дробь принимает вид 5-3-2/4-215. Вынесем 2 из знаменателя: 5-3-2/2(2-15). Освобождаемся от 15, умножая на сопряжённое 2+15.
Знаменатель внутри скобки: (2-15)(2+15)=4-15=-11. Общий знаменатель: 2·(-11)=-22. Числитель: (5-3-2)(2+15)=25+75-23-45-4-215. Упростим корни: 75=53, 45=35. Числитель: 25+53-23-35-4-215=-5+33-4-215.
Итоговая дробь: -5+33-4-215/-22=5-33+4+215/22. Переставим слагаемые в числителе для удобства чтения: 5-33+215+4/22.

Проверка знаков и коэффициентов подтверждает правильность алгебраических преобразований. Ответы совпадают с эталонными значениями.

Ответ

а) 2+2-6/4

б) 5-33+215+4/22

Задача требует двухэтапного домножения на сопряжённые выражения. На первом этапе группируются два корня, на втором — устраняется оставшийся корень в знаменателе. Важно аккуратно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые с корнями.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 503 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 503?

Краткий ответ: а) 2 + √2 - √64; б) √5 - 3√3 + 2√15 + 422.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава II. Квадратные корни.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.