ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 495: дроби

В этом задании нам нужно сократить алгебраические дроби, содержащие квадратные корни. Основной приём здесь — использование формул разности кубов и приведение подобных слагаемых после сокращения. Давайте разберём каждый пункт по порядку.

а) Сократим дробь xx-yy/x-y

Заметим, что числитель можно представить как разность кубов. Действительно, xx=(x)³, а yy=(y)³. Воспользуемся формулой a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²), где a=x и b=y.

Распишем числитель:

xx-yy=(x)³-(y)³=(x-y)((x)²+x·y+(y)²)

Упростим выражение в скобках: (x)²=x, x·y=xy, (y)²=y. Получаем:

(x-y)(x+xy+y)

Теперь подставим это обратно в исходную дробь:

(x-y)(x+xy+y)/x-y

Сокращаем общий множитель (x-y) при условии, что x≠y (то есть x≠y).

Ответ для пункта а): x+xy+y.

б) Сократим дробь 22-xx/2+2x+x

Аналогично первому пункту, преобразуем числитель к виду разности кубов. Заметим, что 22=(2)³, так как 2·2·2=22. Также xx=(x)³.

Применим формулу a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²), где a=2 и b=x.

Числитель раскладывается на множители:

22-xx=(2)³-(x)³=(2-x)((2)²+2·x+(x)²)

Упрощаем второй множитель:

(2)²=2, 2·x=2x, (x)²=x

Итого числитель равен: (2-x)(2+2x+x).

Подставляем в дробь:

(2-x)(2+2x+x)/2+2x+x

Сокращаем общий множитель (2+2x+x).

Остаётся выражение 2-x.

Ответ для пункта б): 2-x.

Примечание: В ключе из раздела «Ответы» для пункта б) указано 1/(a-ab+b), что явно относится к другой задаче или содержит опечатку в нумерации/условии, так как структура ответа не соответствует данному условию. Наше решение строго следует математическим правилам для данного примера.