ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 491: корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что значения выражений \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} и \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} · \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} являются натуральными числами.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать, что значения выражений являются натуральными числами, необходимо упростить каждое из них. Для первого выражения (суммы) воспользуемся свойством полного квадрата под знаком корня: a2=|a|. Для второго выражения (произведения) применим свойство радикалов a·b=ab и формулу разности квадратов (x-y)(x+y)=x2-y2.
Вычисление первого выражения.
Рассмотрим подкоренное выражение 7+43. Попробуем представить его в виде полного квадрата двучлена (a+b)2=a2+2ab+b2. Заметим, что 43=2·2·3. Если принять a=2 и b=3, то: a2+2ab+b2=22+2·2·3+(3)2=4+43+3=7+43. Таким образом, 7+43=(2+3)2. Аналогично для второго слагаемого: 7-43=(2-3)2. Теперь вычислим значение суммы: (2+3)2+(2-3)2=|2+3|+|2-3|. Так как 3≈1,73, то 2+3>0 и 2-3>0. Модули снимаются без изменения знаков: 2+3+2-3=4. Число 4 является натуральным.
Вычисление второго выражения.
Рассмотрим произведение 7+43·7-43. Объединим корни под один знак радикала: (7+43)(7-43). Подкоренное выражение представляет собой разность квадратов: a2-b2, где a=7, а b=43. Вычислим b2: (43)2=42·(3)2=16·3=48. Тогда: 72-(43)2=49-48=1=1. Число 1 является натуральным.
Проверка и вывод.
Мы получили два результата: 4 и 1. Оба числа принадлежат множеству натуральных чисел (N). Доказательство завершено.
Первое выражение равно 4, второе равно 1; оба числа натуральные.
В решении использован метод выделения полного квадрата под знаком корня для первого случая и формула разности квадратов для второго. Важно отметить, что при извлечении корня из квадрата (x2=|x|) нужно проверять знак выражения внутри модуля, чтобы корректно снять скобки.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 491 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 491?
Краткий ответ: Первое выражение равно 4, второе равно 1; оба числа натуральные.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава II. Квадратные корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.