ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 591: Квадратное уравнение и его корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Не решая квадратные уравнения, определите наличие корней и знаки этих корней для следующих уравнений
а) x2+7x-1=0
б) x2-7x+1=0
в) 5x2+17x+16=0
г) 19x2-23x+5=0
д) 2x2+53x+11=0
е) 11x2-9x+7-52=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для определения наличия и знаков корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 без его решения используем два инструмента: дискриминант D=b2-4ac и теорему Виета (x1+x2=-b/a, x1·x2=c/a).
Алгоритм действий для каждого пункта:
- Вычислить дискриминант. Если D<0, корней нет. Если D≥0, корни существуют.
- Если корни есть, найти произведение корней P=c/a.
- Если P<0, то один корень положительный, другой отрицательный (разноименные).
- Если P>0, то корни одного знака. Знак определяется суммой корней S=-b/a: если S>0, оба положительны; если S<0, оба отрицательны.
Разберём каждое уравнение отдельно.
а) x2+7x-1=0
Коэффициенты: a=1,b=7,c=-1.
Дискриминант: D=72-4·1·(-1)=49+4=53 Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня.
Знаки корней: Произведение корней x1x2=-1/1=-1. Поскольку произведение отрицательно, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
б) x2-7x+1=0
Коэффициенты: a=1,b=-7,c=1.
Дискриминант: D=(-7)2-4·1·1=49-4=45 Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня.
Знаки корней: Произведение корней x1x2=1/1=1>0, значит, корни одного знака. Сумма корней x1+x2=--7/1=7>0. Значит, оба корня положительные.
в) 5x2+17x+16=0
Коэффициенты: a=5,b=17,c=16.
Дискриминант: D=172-4·5·16=289-320=-31 Так как D<0, действительных корней уравнение не имеет.
г) 19x2-23x+5=0
Коэффициенты: a=19,b=-23,c=5.
Дискриминант: D=(-23)2-4·19·5=529-380=149 Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня.
Знаки корней: Произведение корней x1x2=5/19>0, значит, корни одного знака. Сумма корней x1+x2=--23/19=23/19>0. Значит, оба корня положительные.
д) 2x2+53x+11=0
Коэффициенты: a=2,b=53,c=11.
Дискриминант: D=(53)2-4·2·11=25·3-88=75-88=-13 Так как D<0, действительных корней уравнение не имеет.
е) 11x2-9x+7-52=0
Коэффициенты: a=11,b=-9,c=7-52.
Сначала оценим знак свободного члена c. Известно, что 2≈1.41, тогда 52≈7.05. Следовательно, c=7-7.05<0. Точнее: (52)2=50, а 72=49. Так как 50>49, то 52>7, значит c<0.
Дискриминант: D=(-9)2-4·11·(7-52)=81-44(7-52)=81-308+2202=2202-227 Оценим D: 2202≈220·1.414=311.08. Тогда D≈311.08-227>0. Корни существуют.
Знаки корней: Произведение корней x1x2=c/a=7-52/11. Так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то произведение отрицательно. Значит, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
а) Два корня разных знаков
б) Два положительных корня
в) Нет корней
г) Два положительных корня
д) Нет корней
е) Два корня разных знаков.
Использованы свойства дискриминанта и теорема Виета. В пункте е) важно было определить знак свободного члена через сравнение квадратов или приближенное значение корня.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 591 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 591?
Краткий ответ: а) Два корня разных знаков; б) Два положительных корня; в) Нет корней; г) Два положительных корня; д) Нет корней; е) Два корня разных знаков.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.