ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 594: Квадратное уравнение и его корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите значения x, при которых верны следующие равенства
а) (3x+1)2=3x+1
б) (3x+1)2=3(x+1)
в) (3x+1)2=(2x-5)2
г) (3x+4)2=4(x+3)
д) 4(x+3)2=(2x+6)2
е) (6x+3)2=(x-4)2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения уравнений вида A2=B или A2=B2 будем использовать метод разложения на множители или приведение к квадратному уравнению. В каждом пункте выразим переменную x, удовлетворяющую равенству.
а) (3x+1)2=3x+1
Перенесем правую часть влево: (3x+1)2-(3x+1)=0. Вынесем общий множитель (3x+1) за скобки: (3x+1)(3x+1-1)=0, то есть (3x+1)(3x)=0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) 3x+1=0⇒3x=-1⇒x=-1/3.
2) 3x=0⇒x=0.
Ответ: x1=0;x2=-1/3.
б) (3x+1)2=3(x+1)
Раскроем скобки в левой части и упростим правую: 9x2+6x+1=3x+3. Перенесем все члены в левую часть: 9x2+6x-3x+1-3=0⇒9x2+3x-2=0. Решим квадратное уравнение через дискриминант: D=b2-4ac=32-4·9·(-2)=9+72=81. Так как D>0, уравнение имеет два корня: x1,2=-b±D/2a=-3±9/18.
1) x1=-3+9/18=6/18=1/3.
2) x2=-3-9/18=-12/18=-2/3.
Ответ: x1=1/3;x2=-2/3.
в) (3x+1)2=(2x-5)2
Используем формулу разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b). Переносим правую часть влево: (3x+1)2-(2x-5)2=0.
(3x+1-(2x-5))(3x+1+(2x-5))=0.
Упрощаем выражения в скобках:
1) 3x+1-2x+5=x+6.
2) 3x+1+2x-5=5x-4.
Получаем уравнение: (x+6)(5x-4)=0.
1) x+6=0⇒x=-6.
2) 5x-4=0⇒5x=4⇒x=0.8.
Ответ: x1=-6;x2=0.8.
г) (3x+4)2=4(x+3)
Раскрываем скобки: 9x2+24x+16=4x+12. Переносим все в одну сторону: 9x2+24x-4x+16-12=0⇒9x2+20x+4=0. Находим дискриминант: D=202-4·9·4=400-144=256. D=16.
x1,2=-20±16/18.
1) x1=-20+16/18=-4/18=-2/9.
2) x2=-20-16/18=-36/18=-2.
Ответ: x1=-2;x2=-2/9.
д) 4(x+3)2=(2x+6)2
Заметим, что правая часть может быть преобразована: (2x+6)2=[2(x+3)]2=4(x+3)2.
Таким образом, уравнение принимает вид: 4(x+3)2=4(x+3)2.
Это тождество верно при любых значениях x, так как обе части идентичны.
Ответ: x — любое число.
е) (6x+3)2=(x-4)2
Снова используем разность квадратов: (6x+3)2-(x-4)2=0.
(6x+3-(x-4))(6x+3+(x-4))=0.
Упрощаем множители:
1) 6x+3-x+4=5x+7.
2) 6x+3+x-4=7x-1.
Получаем: (5x+7)(7x-1)=0.
1) 5x+7=0⇒5x=-7⇒x=-1.4.
2) 7x-1=0⇒7x=1⇒x=1/7.
Ответ: x1=-1.4;x2=1/7.
а) 0; -1/3
б) 1/3; -2/3
в) -6; 0.8
г) -2; -2/9
д) любое число
е) -1.4; 1/7
В пункте д) важно заметить, что (2x+6)2 раскладывается как 4(x+3)2, что делает уравнение тождеством. В остальных пунктах использованы методы разложения на множители для уравнений вида A2=B2 и приведение к стандартному виду квадратного уравнения для случаев A2=B.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 594 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 594?
Краткий ответ: а) 0; -13; б) 13; -23; в) -6; 0.8; г) -2; -29; д) любое число; е) -1.4; 17.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.