ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 592: Квадратное уравнение и его корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что следующие уравнения не могут иметь корни с одинаковыми знаками
а) 3x2+113x-7=0
б) 5x2-291x-16=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать, что квадратное уравнение не может иметь корней с одинаковыми знаками, воспользуемся теоремой Виета. Согласно ей, произведение корней x1·x2 равно свободному члену, деленному на старший коэффициент (c/a). Если корни имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны), то их произведение должно быть строго положительным числом. Следовательно, нам нужно проверить знак выражения c/a. Если оно отрицательно, значит, корни имеют разные знаки, и утверждение доказано.
Вычисление для пункта а).
Рассмотрим уравнение 3x2+113x-7=0. Здесь коэффициенты равны: a=3, b=113, c=-7. Найдем произведение корней по формуле Виета: x1·x2=c/a=-7/3 Так как -7/3<0, произведение корней является отрицательным числом. Это возможно только в том случае, если один корень положителен, а другой отрицателен. Таким образом, корни не могут иметь одинаковые знаки.
Вычисление для пункта б).
Рассмотрим уравнение 5x2-291x-16=0. Здесь коэффициенты равны: a=5, b=-291, c=-16. Найдем произведение корней: x1·x2=c/a=-16/5 Значение -16/5 меньше нуля. Отрицательное произведение двух чисел означает, что они имеют противоположные знаки. Следовательно, предположение о наличии корней с одинаковыми знаками неверно.
Проверка и вывод.
В обоих случаях мы установили, что отношение свободного члена к старшему коэффициенту (c/a) отрицательно. Для квадратных уравнений это строгий критерий того, что дискриминант положителен (корни существуют и различны) и корни имеют разные знаки. Поскольку задача требовала доказать невозможность наличия корней с одинаковыми знаками, а мы показали, что знаки всегда разные, доказательства завершены успешно.
а) Доказано, так как x1x2=-7/3<0
б) Доказано, так как x1x2=-16/5<0
Использована теорема Виета. Ключевой момент: произведение корней отрицательно <=> корни имеют разные знаки.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 592 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 592?
Краткий ответ: а) Доказано, так как x_1 x_2 = - 73 < 0; б) Доказано, так как x_1 x_2 = - 165 < 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.