8 класс система уравнений Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 756: система уравнений

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 755 757 →

Условие

Найти стороны прямоугольника с периметром 28 см, если сумма площадей квадратов на его смежных сторонах равна 116 см².

Прямоугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника через a и b. Нам известно два факта: периметр равен 28 см, а сумма площадей квадратов на этих сторонах равна 116 см². Составим систему уравнений.

Формула периметра: 2(a+b)=28, откуда следует, что сумма сторон a+b=14.
Сумма площадей квадратов: a²+b²=116.

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения: b=14-a. Подставим это выражение во второе уравнение:

a²+(14-a)²=116

Раскроем скобки по формуле квадрата разности (x-y)²=x²-2xy+y²:

a²+(196-28a+a²)=116

Приведем подобные слагаемые:

2a²-28a+196=116

Перенесем все в левую часть и упростим:

2a²-28a+80=0

Разделим всё уравнение на 2:

a²-14a+40=0

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна 14, а произведение — 40. Числами, удовлетворяющими этим условиям, являются 4 и 10. Таким образом, корни уравнения: a₁=4 и a₂=10.

Если a=4, то b=14-4=10. Если a=10, то b=14-10=4. В обоих случаях стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.

Проверка:
1) Периметр: 2(4+10)=2·14=28 см. Верно.
2) Сумма площадей квадратов: 4²+10²=16+100=116 см². Верно.

Ответ

4 см и 10 см

Задача сводится к решению системы уравнений, где одно линейное (a+b=14), а другое квадратичное (a²+b²=116). Метод подстановки приводит к стандартному квадратному уравнению.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 756 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 756?

Краткий ответ: 4 см и 10 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.