ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 813: система уравнений

План решения.

В задачах на движение по реке удобно выбрать систему отсчёта, связанную с водой (течением). В этой системе вёсла неподвижны, а лодка движется со своей собственной скоростью относительно воды. Однако для школьного курса алгебры чаще используют классический подход: выразим время движения вверх и вниз через скорость течения x (км/ч) и пройденные расстояния. Заметим важный факт: если бы лодка не разворачивалась, а просто дрейфовала, она бы двигалась со скоростью течения. Но здесь лодка активно плывёт. Давайте проанализируем путь вёсел и лодки относительно берега.

Вычисление.

Переведём единицы измерения в км и часы. Скорость лодки в стоячей воде v_л =90 м/мин =90·60/1000=5,4 км/ч. Время до обнаружения потери t₁=4 ч 30 мин =4,5 ч.

Пусть скорость течения равна x км/ч (x>0).

1. Движение вверх по течению: Рыболов проплыл 6 км. Скорость лодки против течения равна (5,4-x) км/ч. Время этого участка t_up=6/5,4-x часов.
2. Дрейф вёсел: Вёсла упали сразу после того, как лодка прошла 6 км. К моменту обнаружения (через 4,5 ч от старта) прошло время t_drift=t₁-t_up. За это время вёсла снесло течением на расстояние S_весла =x·(4,5-6/5,4-x) км от точки падения. Точка падения находится в 6 км от старта. Значит, координата вёсел относительно старта: 6+S_весла? Нет, течение несёт вниз к старту. Если рыболов плывёт вверх , то течение направлено вниз . Уронил вёсла — они плывут вниз к месту старта. Расстояние от старта до точки падения 6 км. Вёсла плывут вниз. Лодка тоже плывёт вверх, потом разворачивается и плывёт вниз.

Давайте пересмотрим условие внимательно: «проплыв 6 км... уронил вёсла». Это значит, что точка падения удалена от старта на 6 км вверх по течению. Вёсла начинают дрейфовать вниз со скоростью x. Лодка продолжает двигаться вверх ещё какое-то время, пока не истечет общий срок 4,5 ч? Нет, «Через 4 ч 30 мин после начала движения он обнаружил потерю». Это означает, что весь путь лодки (вверх до падения + вверх после падения) занял 4,5 часа? Или падение произошло мгновенно при достижении 6 км, а обнаружение случилось позже?

Фраза «Проплыв 6 км, он уронил вёсла» обычно подразумевает, что событие падения совпадает с прохождением отметки 6 км. Далее идёт движение лодки вверх ещё какое-то время, или же падение произошло, и лодка продолжила движение, но автор задачи мог иметь в виду, что падение произошло в конце пути вверх? Нет, стандартная интерпретация: лодка прошла 6 км, в этот момент упали вёсла. Лодка продолжала плыть вверх, пока не прошло всего 4,5 ч от старта. Затем развернулась.

Но есть более простая физическая модель, часто используемая в таких олимпиадных задачах: относительно воды . Пусть скорость течения x. Скорость лодки относительно воды v=5,4 км/ч. В системе отсчёта воды вёсла стоят на месте. Лодка удаляется от них со скоростью v, а затем возвращается со скоростью v. Время удаления равно времени возвращения. Общее время отсутствия вёсел у лодки равно времени, за которое лодка вернулась к ним. Но мы знаем абсолютное время от старта до обнаружения.

Попробуем алгебраический метод с координатами. Старт в точке 0. Направление вверх — положительное. Точка падения вёсел: A=6 км. Момент падения: T_A=6/5,4-x. Вёсла движутся вниз со скоростью x. Их координата в момент времени t: X_весла(t)=6-x(t-T_A) для t≥T_A. Лодка движется вверх до момента T₁=4,5 ч. Её координата в момент T₁: X_лодка(T₁)=6+(5,4-x)(4,5-T_A). Затем лодка разворачивается и плывёт вниз со скоростью (5,4+x) навстречу вёслам. Условие: «чтобы подобрать вёсла (которые к этому моменту снесло течением обратно к месту старта)». Фраза «к этому моменту» относится к моменту обнаружения или к моменту подбора? Обычно «обнаружил... чтобы подобрать... которые снесло к месту старта». Это может означать, что когда лодка вернулась к вёслам, вёсла были уже в стартовой точке (координата 0). Или же вёсла встретились с лодкой где-то между точкой падения и стартом, но условие говорит «снесло обратно к месту старта», что часто является подсказкой, что встреча произошла именно в нулевой точке, либо это описание траектории вёсел до момента, когда их нашли. Прочитаем строго: «повернул назад, чтобы подобрать вёсла (которые к этому моменту снесло течением обратно к месту старта)». Грамматически «к этому моменту» скорее всего относится к моменту обнаружения потери. То есть в момент t=4,5 ч вёсла находятся в точке старта (0 км). Проверим эту гипотезу: Координата вёсел в момент t=4,5 ч равна 0. X_весла(4,5)=6-x(4,5-T_A)=0. Подставим T_A=6/5,4-x: 6-x(4,5-6/5,4-x)=0 6=x(4,5-6/5,4-x) 6=4,5x-6x/5,4-x Разделим на 1,5 для удобства или оставим так. Умножим на (5,4-x): 6(5,4-x)=4,5x(5,4-x)-6x 32,4-6x=24,3x-4,5x²-6x 32,4-6x=18,3x-4,5x² Переносим всё в одну сторону: 4,5x²-18,3x-6x+32,4=0 4,5x²-24,3x+32,4=0 Разделим уравнение на 0,9: 5x²-27x+36=0 Найдём дискриминант: D=(-27)²-4·5·36=729-720=9 Корни: x₁=27+3/10=3 x₂=27-3/10=2,4 Оба корня положительны и меньше скорости лодки (5,4), что физически возможно.

Проверка.

Рассмотрим случай x=3 км/ч. Скорость лодки вверх: 5,4-3=2,4 км/ч. Время до падения вёсел: T_A=6/2,4=2,5 ч. Время дрейфа вёсел до момента обнаружения: 4,5-2,5=2 ч. Расстояние, которое проплыли вёсла вниз: 3 км/ч ·2 ч =6 км. Так как они упали на расстоянии 6 км от старта, то пройдя 6 км вниз, они оказались точно в точке старта. Условие выполнено. Рассмотрим случай x=2,4 км/ч. Скорость лодки вверх: 5,4-2,4=3 км/ч. Время до падения вёсел: T_A=6/3=2 ч. Время дрейфа вёсел до момента обнаружения: 4,5-2=2,5 ч. Расстояние, которое проплыли вёсла вниз: 2,4 км/ч ·2,5 ч =6 км. Они также оказались в точке старта. Условие выполнено. Таким образом, оба ответа подходят под формулировку «снесло обратно к месту старта» к моменту обнаружения.