8 класс система уравнений Глава III. Уравнения и системы уравнений

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 817: система уравнений

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 816 818 →

Условие

Автобус проехал 400 км из A в B с постоянной скоростью. На обратном пути первые 2 часа он ехал с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. Обратный путь занял на 20 минут меньше, чем прямой. Сколько времени автобус затратил на обратный путь?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим скорость автобуса на пути из A в B через v км/ч.
Выразим время прямого пути и время обратного пути через эту переменную.
Составим уравнение, используя условие о разнице во времени (20 минут = 1/3 часа).
Решим полученное квадратное уравнение и найдем искомое время.

Вычисление:

Время прямого пути: t₁=400/v часов.
На обратном пути первые 2 часа автобус ехал со скоростью v, пройдя расстояние 2v км. Оставшееся расстояние равно (400-2v) км. Эту часть пути он проехал со скоростью (v+10) км/ч. Время на второй участок обратного пути: 400-2v/v+10 часов.
Общее время обратного пути: t₂=2+400-2v/v+10 часов.
По условию обратный путь занял на 20 минут (1/3 ч) меньше прямого: t₁-t₂=1/3 Подставим выражения для времени: 400/v-(2+400-2v/v+10)=1/3
Упростим левую часть. Заметим, что 400-2v/v+10=-2(v+10)+420/v+10=-2+420/v+10. Тогда выражение в скобках: 2+(-2+420/v+10)=420/v+10. Уравнение принимает вид: 400/v-420/v+10=1/3
Приведем к общему знаменателю 3v(v+10): 1200(v+10)-1260v/3v(v+10)=1 1200v+12000-1260v=3v²+30v -60v+12000=3v²+30v Разделим все члены на 3: -20v+4000=v²+10v Перенесем все в одну сторону: v²+30v-4000=0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: D=30²-4·1·(-4000)=900+16000=16900. D=130. Корни: v₁=-30+130/2=50, v₂=-30-130/2=-80 Скорость не может быть отрицательной, поэтому v=50 км/ч.
Найдем время обратного пути t₂: t₂=420/v+10=420/50+10=420/60=7 часов? Проверка вычисления по формуле времени: Прямой путь t₁=400/50=8 ч. Обратный путь должен быть 8-1/3=72/3 ч. Давайте перепроверим упрощение t₂. t₂=2+400-100/60=2+300/60=2+5=7 ч. Разница 8-7=1 час, а не 20 минут. Где ошибка?
Пересмотр уравнения: Вернемся к шагу 4. t₁-t₂=1/3. t₂=2+400-2v/v+10. 400/v-2-400-2v/v+10=1/3. 400/v-400-2v/v+10=21/3=7/3. Общее знаменатель 3v(v+10). Числитель слева: 3·400(v+10)-3v(400-2v)=1200v+12000-1200v+6v²=6v²+12000. Правая часть: 7/3⇒7v(v+10)=7v²+70v. Уравнение: 6v²+12000=7v²+70v. v²+70v-12000=0. D=4900+48000=52900. 52900=230. v=-70+230/2=80 км/ч.
При скорости v=80 км/ч: Время прямого пути t₁=400/80=5 часов. На обратном пути первые 2 часа пройдено 2·80=160 км. Осталось 400-160=240 км. Скорость на втором участке 80+10=90 км/ч. Время второго участка 240/90=8/3=22/3 часа. Общее время обратного пути t₂=2+22/3=42/3 часа.

Проверка:

Разница во времени: 5-42/3=1/3 часа, что соответствует 20 минутам.
Ответ верен.

Ответ

4 ч 40 мин

Ключевой момент — правильно составить уравнение движения. Ошибка в первом черновике была в алгебраическом преобразовании дроби. После исправления получается квадратное уравнение v²+70v-12000=0 с положительным корнем v=80. Итоговое время обратного пути 42/3 часа переводится в 4 часа 40 минут.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 817 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 817?

Краткий ответ: 4 ч 40 мин.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и системы уравнений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.