8 класс система уравнений Глава III. Уравнения и системы уравнений

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 819: система уравнений

Q: Это точный номер 819 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 819?

Краткий ответ: 450 км.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и системы уравнений.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Алексей Широков, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 818 820 →

Условие

Два автомобиля выехали одновременно из городов A и B навстречу друг другу и встретились через 5 часов. Скорость автомобиля из A на 10 км/ч меньше скорости второго. Если бы первый автомобиль выехал из A на 4,5 часа раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от B. Найдите расстояние между городами A и B.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим скорость автомобиля, выехавшего из города B, через v км/ч. Тогда скорость автомобиля из города A будет (v-10) км/ч.

Шаг 1: Анализ первой ситуации (встреча через 5 часов).

Автомобили выехали одновременно и встретились через 5 часов. Расстояние между городами S равно сумме пройденных ими путей:

S=5·v+5·(v-10)

Упростим выражение:

S=5v+5v-50=10v-50

Шаг 2: Анализ второй ситуации (первый автомобиль выехал раньше).

По условию, если бы первый автомобиль выехал на 4,5 часа раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от города B. Это означает, что второй автомобиль проехал до места встречи ровно 150 км.

Найдем время движения второго автомобиля (t₂):

t₂=150/v

Первый автомобиль был в пути на 4,5 часа дольше, чем второй. Значит, время движения первого автомобиля (t₁):

t₁=t₂+4,5=150/v+4,5

Расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи, равно общему расстоянию S минус расстояние, проеханное вторым (150 км). То есть путь первого автомобиля равен S-150.

Запишем уравнение для пути первого автомобиля через его скорость и время:

S-150=(v-10)·(150/v+4,5)

Шаг 3: Решение системы уравнений.

Подставим выражение для S из шага 1 (S=10v-50) в уравнение из шага 2:

(10v-50)-150=(v-10)·(150/v+4,5)

Упростим левую часть:

10v-200=(v-10)·(150+4,5v/v)

Умножим обе части на v (при условии v≠0), чтобы избавиться от знаменателя:

v(10v-200)=(v-10)(150+4,5v)

Раскроем скобки:

10v²-200v=150v+4,5v²-1500-45v

Приведем подобные слагаемые в правой части:

10v²-200v=4,5v²+105v-1500

Перенесем все члены в левую часть:

10v²-4,5v²-200v-105v+1500=0

Получаем квадратное уравнение:

5,5v²-305v+1500=0

Умножим на 2 для удобства работы с коэффициентами:

11v²-610v+3000=0

Найдем дискриминант:

D=(-610)²-4·11·3000=372100-132000=240100

Корень из дискриминанта:

D=240100=490

Найдем корни уравнения:

v₁=610+490/22=1100/22=50

v₂=610-490/22=120/22=60/11≈5,45

Проверим физический смысл корней. Скорость автомобиля из A равна v-10. Если v=60/11, то скорость автомобиля из A будет отрицательной (60/11-10<0), что невозможно. Следовательно, подходит только корень v=50 км/ч.

Шаг 4: Вычисление расстояния.

Теперь найдем расстояние между городами S, используя формулу из шага 1:

S=10v-50

Подставим v=50:

S=10·50-50=500-50=450 км

Проверка:

Скорость второго авто v=50 км/ч, скорость первого v-10=40 км/ч.
1. Встреча через 5 ч: путь второго 50·5=250 км, путь первого 40·5=200 км. Всего 250+200=450 км. Верно.
2. Второй случай: второй авто проехал 150 км со скоростью 50 км/ч за время t₂=150/50=3 ч.
Первый авто был в пути 3+4,5=7,5 ч.
Путь первого авто: 40·7,5=300 км.
Всего расстояние: 300+150=450 км. Верно.

Ответ

450 км

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 819 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 819?

Краткий ответ: 450 км.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и системы уравнений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.