8 класс система уравнений Глава III. Уравнения и системы уравнений

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 816: система уравнений

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Сергей Мишин, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 815 817 →

Условие

Расстояние между городами A и B равно 120 км. Первый автомобиль ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 3/4 часа ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 минут, после чего увеличил скорость на 5 км/ч. Оба автомобиля прибыли в город B одновременно. Найдите скорость первого автомобиля.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Обозначим искомую скорость первого автомобиля через x км/ч. Так как оба автомобиля проехали одинаковое расстояние в 120 км и прибыли одновременно, время их движения также совпадает. Нам нужно составить уравнение, связывающее время первого автомобиля с этапами движения второго (движение, остановка, движение с новой скоростью).

Вычисление.

Время движения первого автомобиля: t₁=120/x

Рассмотрим движение второго автомобиля:

Первый участок: скорость x км/ч, время 3/4 ч. Пройденный путь: S₁=x·3/4=0,75x км.
Остановка: длительность 15 минут. Переведем в часы: 15 мин =15/60 ч =1/4 ч =0,25 ч.
Второй участок: оставшийся путь S₂=120-0,75x км. Скорость увеличилась на 5 км/ч, то есть стала (x+5) км/ч. Время на этом участке: t_2b=120-0,75x/x+5

Общее время второго автомобиля складывается из времени первого участка, остановки и второго участка:

t₂=3/4+1/4+120-0,75x/x+5=1+120-0,75x/x+5

Так как автомобили приехали одновременно, t₁=t₂. Составим уравнение:

120/x=1+120-0,75x/x+5

Приведем правую часть к общему знаменателю или умножим обе части на x(x+5) (при условии x>0):

120(x+5)=x(x+5)+x(120-0,75x) 120x+600=x²+5x+120x-0,75x² 120x+600=0,25x²+125x

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на 4 для удобства работы с коэффициентами:

x²+500x-4800x-2400=0 x²-4300x-2400=0 Проверка вычислений: Давайте перепроверим алгебраические преобразования. Возможно, проще подставить ключевой ответ или решить квадратное уравнение корректнее. Уравнение: 120x+600=0,25x²+125x 0,25x²+5x-600=0 Умножим на 4: x²+20x-2400=0 Дискриминант: D=20²-4·1·(-2400)=400+9600=10000. Корни: x=-20±100/2. x₁=80/2=40, x₂=-120/2=-60. Скорость не может быть отрицательной, поэтому x=40 км/ч.

Проверка.

Если скорость первого автомобиля 40 км/ч, то время его пути: 120/40=3 часа.

Для второго автомобиля при скорости 40 км/ч:

Первые 3/4 ч он ехал со скоростью 40 км/ч, проехав 40·0,75=30 км.
Осталось проехать 120-30=90 км.
Новая скорость: 40+5=45 км/ч.
Время на второй участок: 90/45=2 часа.
Время остановки: 0,25 часа.
Общее время второго автомобиля: 0,75+0,25+2=3 часа.

Времена совпадают (3=3), решение верно.

Ответ

40 км/ч

Задача решается составлением рационального уравнения на основе равенства временных интервалов. Ключевой момент — правильный перевод единиц измерения (минуты в часы) и учет того, что остановка увеличивает общее время второго автомобиля, но не влияет на пройденный им путь.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 816 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 816?

Краткий ответ: 40 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и системы уравнений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.