8 класс система уравнений Глава III. Уравнения и системы уравнений

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 820: система уравнений

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 819 821 →

Условие

Катер проходит расстояние от M до N по течению за 6 часов. Однажды, не доплыв 40 км до N, катер развернулся и вернулся в M, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера через x км/ч. Так как скорость течения реки равна 2 км/ч, то скорость катера по течению будет (x+2) км/ч, а против течения — (x-2) км/ч.

Сначала найдем расстояние между пунктами M и N. Катер проходит это расстояние по течению за 6 часов, значит, расстояние S=6(x+2) км.

Теперь разберем второй случай. Катер не доплыл 40 км до пункта N, развернулся и вернулся в M. Это означает, что он прошел часть пути по течению, а затем весь путь от точки разворота обратно в M против течения.

Расстояние, пройденное по течению: S-40=6(x+2)-40 км.
Время движения по течению: t₁=6(x+2)-40/x+2 ч.
Расстояние, пройденное против течения (от точки разворота до M): S-40=6(x+2)-40 км.
Время движения против течения: t₂=6(x+2)-40/x-2 ч.

По условию общее время составило 9 часов. Составим уравнение:

6(x+2)-40/x+2+6(x+2)-40/x-2=9

Упростим числители: 6(x+2)-40=6x+12-40=6x-28. Уравнение принимает вид:

6x-28/x+2+6x-28/x-2=9

Приведем дроби к общему знаменателю (x+2)(x-2)=x²-4:

(6x-28)(x-2)+(6x-28)(x+2)/x²-4=9

Вынесем общий множитель (6x-28) в числителе:

(6x-28)((x-2)+(x+2))/x²-4=9

Упростим выражение в скобках: (x-2)+(x+2)=2x. Тогда:

(6x-28)·2x/x²-4=9

Раскроем скобки в числителе: 2x(6x-28)=12x²-56x. Получаем:

12x²-56x/x²-4=9

Умножим обе части на (x²-4), учитывая, что x>2 (скорость катера должна быть больше скорости течения для движения против течения):

12x²-56x=9(x²-4)

Раскроем скобки справа:

12x²-56x=9x²-36

Перенесем все слагаемые в левую часть:

12x²-9x²-56x+36=0

Получаем квадратное уравнение:

3x²-56x+36=0

Найдем дискриминант:

D=(-56)²-4·3·36=3136-432=2704

Корень из дискриминанта: 2704=52.

Найдем корни уравнения:

x₁=56+52/2·3=108/6=18
x₂=56-52/2·3=4/6=2/3

Проверка корней. По смыслу задачи скорость катера должна быть больше скорости течения (x>2), иначе катер не сможет плыть против течения. Корень x₂=2/3 не удовлетворяет этому условию. Следовательно, подходит только корень x₁=18.

Ответ: собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Ответ

18 км/ч

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 820 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 820?

Краткий ответ: 18 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава III. Уравнения и системы уравнений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.